Achar a série de Taylor de arcsen x na vizinhança de x=0, aplicando arcsen x=integral0^x d traiz1-t^2.
(Pág. 203, ex. 5.)

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de arcsin x em torno de x=0, usando a representação
arcsin x = integral0^x dtraiz1-t^2
O conteúdo necessário é a expansão em série de potências de (1 - t^2)^-1/2 (fórmula binomial generalizada) e a integração termo a termo.

Passo 2

Usamos a fórmula do binômio para expoente geral:
(1 - u)^-1/2 = sumn=0^infty binom-tfrac12n(-u)^n,
onde
binom-tfrac12n = (-tfrac12)(-tfrac12-1)cdots(-tfrac12-n+1)n! = (-1)^n,(2n)!4^n(n!)^2
Substituindo u=t^2 e simplificando os sinais, obtemos
1raiz1-t^2 =(1 - t^2)^-1/2 =sumn=0^infty(2n)!4^n(n!)^2,t^2n

Passo 3

Agora fazemos a integração termo a termo em integral0^x(1-t^2)^-1/2,dt:
arcsin x =integral0^xsumn=0^infty(2n)!4^n(n!)^2,t^2n,dt =sumn=0^infty(2n)!4^n(n!)^2integral0^xt^2n,dt

Passo 4

Calculando a integral de t^2n de 0 a x:
integral0^xt^2n,dt =x^2n+12n+1
Logo
arcsin x =sumn=0^infty(2n)!4^n(n!)^2;x^2n+12n+1 =sumn=0^infty(2n)!4^n(n!)^2(2n+1),x^2n+1

Passo 5

Para ver os primeiros termos, escrevemos para n=0,1,2,3:
arcsin x =x +16x^3 +340x^5 +5112x^7 +cdots

Resposta

boxedarcsin x =sumn=0^infty(2n)!4^n(n!)^2(2n+1),x^2n+1 =x+16x^3+340x^5+5112x^7+cdots

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