Mostrar por indução que y=x^n é contínua para todo n inteiro positivo.

Passo 1

O enunciado quer que mostremos, por indução no expoente, que a função
fncolon RtoR, fn(x)=x^n
é contínua para todo ninN^*. Vamos usar estes fatos:
1. A função identidade f1(x)=x é contínua.
2. Se duas funções são contínuas, seu produto também é contínuo.
3. Propriedade dos limites: limxto a(gcdot h)(x)=l(limxto ag(x)r)cdotl(limxto ah(x)r).

Passo 2

Base da indução ( n=1):
Definindo f1(x)=x, temos para todo ainR
limxto af1(x)=limxto ax = a = f1(a),
logo f1 é contínua em todo a.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum n>=1 a função
fn(x)=x^n
é contínua em todo ponto a, isto é,
limxto ax^n = a^n

Passo 4

Passo de indução: considere
fn+1(x)=x^n+1=x^ncdot x
Pelo passo anterior, x^n é contínua, e sabemos que xmapsto x é contínua; pelo fato de produto de contínuas ser contínua, fn+1 é contínua. Detalhando pelo limite em a:
limxto ax^n+1 =limxto al(x^ncdot xr) =l(limxto ax^nr)cdotl(limxto axr) =a^ncdot a =a^n+1 =fn+1(a)

Resposta

Por indução, a função y=x^n é contínua para todo inteiro positivo n.

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