Mostrar por indução que
é contínua para todo
inteiro positivo.
Passo 1
O enunciado quer que mostremos, por indução no expoente, que a função
é contínua para todo
. Vamos usar estes fatos:
1. A função identidade é contínua.
2. Se duas funções são contínuas, seu produto também é contínuo.
3. Propriedade dos limites: .
1. A função identidade
2. Se duas funções são contínuas, seu produto também é contínuo.
3. Propriedade dos limites:
Passo 2
Base da indução (
):
Definindo , temos para todo
Definindo
logo
é contínua em todo
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para algum
a função
é contínua em todo ponto
, isto é,
Passo 4
Passo de indução: considere
Pelo passo anterior,
é contínua, e sabemos que
é contínua; pelo fato de produto de contínuas ser contínua,
é contínua. Detalhando pelo limite em
:
Resposta
Por indução, a função
é contínua para todo inteiro positivo
.