- Mostrar que, se o mdc
e se a é abundante, então a.b é abundante.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
e
é abundante, então
também é abundante. Vamos usar a definição de número abundante em termos da função soma dos divisores
e a propriedade multiplicativa de
quando os argumentos são primos entre si.
Passo 2
Lembramos que um inteiro positivo
é dito abundante se a soma dos seus divisores próprios (isto é,
) excede
. Equivalentemente,
Como
é abundante, temos
Passo 3
A função
é multiplicativa para argumentos primos entre si. Logo, de
segue
Passo 4
Agora precisamos de uma estimativa para
. Sabemos que todo inteiro
tem pelo menos os divisores
e
, portanto
Para
a conclusão é trivial (pois
é abundante por hipótese) e para
temos
. Assim,
Passo 5
Combinando as desigualdades:
Logo
, ou seja,
é abundante.