1. Mostrar que, se o mdc (a, b)=1 e se a é abundante, então a.b é abundante.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se gcd(a,b)=1 e a é abundante, então a b também é abundante. Vamos usar a definição de número abundante em termos da função soma dos divisores sigma e a propriedade multiplicativa de sigma quando os argumentos são primos entre si.

Passo 2

Lembramos que um inteiro positivo n é dito abundante se a soma dos seus divisores próprios (isto é, sigma(n)-n) excede n. Equivalentemente,
n abundante Long<=ftrightarrow sigma(n)-n>n Long<=ftrightarrow sigma(n)>2n
Como a é abundante, temos
sigma(a)>2a

Passo 3

A função sigma é multiplicativa para argumentos primos entre si. Logo, de gcd(a,b)=1 segue
sigma(ab)=sigma(a),sigma(b)

Passo 4

Agora precisamos de uma estimativa para sigma(b). Sabemos que todo inteiro b>=1 tem pelo menos os divisores 1 e b, portanto
sigma(b);>=;1+b
Para b=1 a conclusão é trivial (pois acdot1=a é abundante por hipótese) e para b>1 temos 1+b>b. Assim,
sigma(b)>b

Passo 5

Combinando as desigualdades:
sigma(ab) =sigma(a),sigma(b) >2a;cdot;sigma(b) >2a;cdot;b =2(ab)
Logo sigma(ab)>2,ab, ou seja, ab é abundante.

Resposta

ab é abundante.

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