Mostrar que
sumnu=2^infty log (nu+1)-log nu(log nu)^2 converge.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série infinita
sumnu=2^infty log(nu+1)-lognu(lognu)^2
converge. O conteúdo principal aqui é teste de comparação para séries de termos positivos, usando uma série cujo comportamento é conhecido via teste integral.

Passo 2

Note que para nu>=2 vale
log(nu+1)-lognu = logl(1+1nur)
Como log(1+x)<= x para todo x>-1, temos
logl(1+1nur)<= 1nu
Logo o termo geral da série original satisfaz
0<= log(nu+1)-lognu(lognu)^2 <= 1nu,(lognu)^2

Passo 3

Agora consideremos a série comparativa
sumnu=2^infty1nu,(lognu)^2
Aplicando o teste integral, estudamos
integral2^inftydxx,(log x)^2
Fazendo a mudança de variável t=log x, então dt = dx/x e os limites vão de t=log 2 até ttoinfty. Assim
integral2^inftydxx,(log x)^2 =integrallog 2^inftydtt^2,
e essa integral converge porque é do tipo integralA^inftyt^-2dt com expoente maior que 1.

Passo 4

Como sumnu=2^infty1nu,(lognu)^2 converge e
0<= log(nu+1)-lognu(lognu)^2 <= 1nu,(lognu)^2,
pelo teste de comparação direta, concluímos que a série original também converge.

Resposta

A série
sumnu=2^infty log(nu+1)-lognu(lognu)^2
converge.

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