Mostrar que
converge.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série infinita
converge. O conteúdo principal aqui é teste de comparação para séries de termos positivos, usando uma série cujo comportamento é conhecido via teste integral.
Passo 2
Note que para
vale
Como
para todo
, temos
Logo o termo geral da série original satisfaz
Passo 3
Agora consideremos a série comparativa
Aplicando o teste integral, estudamos
Fazendo a mudança de variável
, então
e os limites vão de
até
. Assim
e essa integral converge porque é do tipo
com expoente maior que 1.
Passo 4
Como
converge e
pelo teste de comparação direta, concluímos que a série original também converge.
Resposta
A série
converge.