Provar que lim x 1 x+2x+1=32. Determinar um de<a tal, que para |1-x|<de<a, a diferença entre 32 e x+2x+1 seja menor do que epsilon(epsilon>0), em valor absoluto. Fazer o mesmo
para lim z 2 raiz1+x^3;

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite epsilon de<a, que
limxto1x+2x+1=tfrac32
e
limzto2raiz1+z^3=3
Iremos, para cada função, estimar l|f(t)-Lr| em termos de |t-t0| e escolher de<a em função de epsilon.

Passo 2

Seja f(x)=x+2x+1 e L=tfrac32. Calculamos
l|x+2x+1-tfrac32r| =l|2x+4-3x-32(x+1)r| =|x-1|2,|x+1|
Para controlar o denominador note que, se impusermos |x-1|<1, então 0<x<2 e
|x+1|>1,
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l|x+2x+1-tfrac32r|<=|x-1|2

Passo 3

Para garantir l|tfracx+2x+1-tfrac32r|<epsilon basta ter
|x-1|2<epsilon,
ou seja |x-1|<2epsilon. Além disso queremos |x-1|<1. Logo podemos escolher
de<a1=minl(1,,2epsilonr)
Então, sempre que |x-1|<de<a1, teremos l|tfracx+2x+1-tfrac32r|<epsilon.

Passo 4

Agora seja g(z)=raiz1+z^3 e L=3. Note que
l|raiz1+z^3-3r| =l|1+z^3-9r|raiz1+z^3+3 =|z^3-8|raiz1+z^3+3 =|z-2|,(z^2+2z+4)raiz1+z^3+3
Se impusermos |z-2|<1, então 1<z<3 e
z^2+2z+4<9+6+4=19, raiz1+z^3+3>= 3
Assim
l|raiz1+z^3-3r| <=19,|z-2|3

Passo 5

Para ter l|raiz1+z^3-3r|<epsilon basta
19,|z-2|3<epsilon Longrightarrow |z-2|<3epsilon19
Além disso queremos |z-2|<1. Portanto definimos
de<a2=minl(1,,3epsilon19r)
Assim, sempre que |z-2|<de<a2, resulta l|raiz1+z^3-3r|<epsilon.

Resposta

Para limxto1tfracx+2x+1=tfrac32 escolha
de<a1=minl(1,,2epsilonr)
Para limzto2raiz1+z^3=3 escolha
de<a2=minl(1,,3epsilon19r)

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