Mostrar que o termo independente de x \operatorname{de}\left(\frac{1}{x}+\sqrt[4]{x}\right)^{15} é 455.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o coeficiente do termo independente de x na expansão de \bigl(\tfrac{1}{x} + \sqrt[4]{x}\bigr)^{15}. Vamos usar o desenvolvimento binomial e a ideia de que cada termo é da forma
\binom{15}{k}\bigl(x^{-1}\bigr)^{15-k}\bigl(x^{\tfrac14}\bigr)^{k}.

Passo 2

Escrevendo o expoente de x em cada termo, temos
\bigl(x^{-1}\bigr)^{15-k}\bigl(x^{\tfrac14}\bigr)^{k} = x^{-(15-k)}\,x^{\tfrac{k}{4}} = x^{-15 + k + \tfrac{k}{4}} = x^{-15 + \tfrac{5k}{4}}.

Passo 3

Para que o termo seja independente de x, o expoente deve ser zero:
-15 + \frac{5k}{4} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{5k}{4} = 15 \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{15 \cdot 4}{5} = 12.

Passo 4

O coeficiente correspondente a k=12 é
\binom{15}{12} = \binom{15}{3} = \frac{15\cdot14\cdot13}{3\cdot2\cdot1} = 455.

Resposta

455

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