Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer reais
e
, vale
onde
denota a parte inteira (função piso) de
. Vamos usar a decomposição em parte inteira e parte fracionária:
Passo 2
Escrevendo cada termo em função da parte inteira e da parte fracionária, temos
Logo
Passo 3
Por outro lado,
Somando,
Passo 4
Comparando os dois resultados, a desigualdade original se reduz a
Observe que
vale
se
e vale
se
. Também
vale
se
e vale
se
.
Passo 5
- Se
, então e o lado direito é não negativo, logo a desigualdade vale. - Se
, então pelo menos uma das frações ou é , de modo que . Daí
Em ambos os casos a desigualdade se mantém.
Resposta
A desigualdade
vale para todos
.