Mostre que: [a]+[b]+[a+b] <=[2 a]+[2 b]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer reais a e b, vale
[a]+[b]+[a+b];<=;[2a]+[2b],
onde [x] denota a parte inteira (função piso) de x. Vamos usar a decomposição em parte inteira e parte fracionária:
x = [x] + x, 0 <= x<1

Passo 2

Escrevendo cada termo em função da parte inteira e da parte fracionária, temos
[a+b] = [a]+[b] + llfloor a + brrfloor
Logo
[a]+[b]+[a+b] =2l([a]+[b]r) + llfloor a+brrfloor

Passo 3

Por outro lado,
[2a] = 2[a] + llfloor 2arrfloor, [2b] = 2[b] + llfloor 2brrfloor
Somando,
[2a]+[2b] =2l([a]+[b]r) + l(lfloor2arfloor + lfloor2brfloorr)

Passo 4

Comparando os dois resultados, a desigualdade original se reduz a
llfloor a+brrfloor ;<=; lfloor2arfloor ;+;lfloor2brfloor
Observe que lfloor2xrfloor vale 0 se x<tfrac12 e vale 1 se x>=tfrac12. Também lfloor a+brfloor vale 0 se a+b<1 e vale 1 se a+b>=1.

Passo 5

  • Se a+b<1, então lfloor a+brfloor=0 e o lado direito é não negativo, logo a desigualdade vale.
  • Se a+b>=1, então pelo menos uma das frações a ou b é >=tfrac12, de modo que lfloor2arfloor+lfloor2brfloor>=1. Daí
lfloora+brfloor = 1 ;<=; lfloor2arfloor + lfloor2brfloor
Em ambos os casos a desigualdade se mantém.

Resposta

A desigualdade
[a]+[b]+[a+b]<=[2a]+[2b]
vale para todos a,binR.

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