a) Considere o polinômio unitário é raiz de , isto (ou seja, u é um divisor inteiro de
).
b) Determine as raízes racionais de

Passo 1

O enunciado trata de duas partes. Na parte (a) temos um polinômio unitário
f(x)=a0+a1x+cdots+an-1x^n-1+x^n
com coeficientes aiinZ. Queremos provar que, se
u=rs(gcd(r,s)=1)
é raiz de f, então s=pm1 e rmid a0.
Na parte (b) precisamos encontrar as raízes racionais de
f(x)=-2x^4+x^3+3x^2+7x-9
Usaremos o Teorema da Raiz Racional (e seu caso especial para polinômio unitário) para resolver.

Passo 2

Prova de que s=pm1. Se f(u)=0, isto é,
a0+a1,rs+cdots+an-1,r^n-1s^n-1+r^ns^n=0,
multiplicamos por s^n e obtemos
a0s^n+a1r,s^n-1+cdots+an-1r^n-1s+r^n=0
Todos os termos, exceto r^n, são múltiplos de s. Logo s divide r^n. Mas gcd(r,s)=1, então s só pode dividir 1, ou seja,
s=pm1

Passo 3

Com s=pm1 segue que u=rinZ. Agora f(r)=0
r^n+an-1r^n-1+cdots+a1r+a0=0 Longrightarrow r^n+l(mú<iplo de rr)+a0=0 ú
Isto implica rmid a0. Concluímos a parte (a): se tfracrs é raiz então s=pm1 e rmid a0.

Passo 4

Para a parte (b) temos agora um polinômio com coeficiente líder -2. O Teorema da Raiz Racional diz que, se pq em forma reduzida é raiz, então
pmid(-9), qmid(-2)
Logo as raízes racionais possíveis são
pm1,;pm3,;pm9,;pm12,;pm32,;pm92

Passo 5

Basta testar cada candidato em
f(x)=-2x^4+x^3+3x^2+7x-9
Calcula-se facilmente
f(1)=-2+1+3+7-9=0,
enquanto todos os demais valores dão diferente de zero. Assim a única raiz racional é x=1.

Resposta

(a) Se tfracrs é raiz de f monic, então s=pm1 e rmid a0.
(b) A única raiz racional de f(x)=-2x^4+x^3+3x^2+7x-9 é x=1.

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