a) Considere o polinômio unitário
é raiz de
, isto (ou seja, u é um divisor inteiro de
).
b) Determine as raízes racionais de
).
b) Determine as raízes racionais de
Passo 1
O enunciado trata de duas partes. Na parte (a) temos um polinômio unitário
com coeficientes
. Queremos provar que, se
é raiz de
, então
e
.
Na parte (b) precisamos encontrar as raízes racionais de
Na parte (b) precisamos encontrar as raízes racionais de
Usaremos o Teorema da Raiz Racional (e seu caso especial para polinômio unitário) para resolver.
Passo 2
Prova de que
. Se
, isto é,
multiplicamos por
e obtemos
Todos os termos, exceto
, são múltiplos de
. Logo
divide
. Mas
, então
só pode dividir
, ou seja,
Passo 3
Com
segue que
. Agora
dá
Isto implica
. Concluímos a parte (a): se
é raiz então
e
.
Passo 4
Para a parte (b) temos agora um polinômio com coeficiente líder
. O Teorema da Raiz Racional diz que, se
em forma reduzida é raiz, então
Logo as raízes racionais possíveis são
Passo 5
Basta testar cada candidato em
Calcula-se facilmente
enquanto todos os demais valores dão diferente de zero. Assim a única raiz racional é
.
Resposta
(a) Se
é raiz de
monic, então
e
.
(b) A única raiz racional de é
.
(b) A única raiz racional de