Sejamaeb
, ambos maiores que 1. Prove que:
Resolução (para o caso
): Na seqüência de numeradores a ,
aparece
pois
e
(já que
). Do colchete correspondente ao numerador b em diante, todos são iguais a 1. Por exemplo, o primeiro deles é
e o último
, pois
. Como o número destes colchetes iguais a 1 é a, e todos os anteriores são nulos, então a soma efetivamente é igual a a.
e o último
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para
maiores que 1, vale
O conteúdo principal aqui é usar a divisão euclidiana de
por
e contar quantas parcelas no somatório têm parte inteira extra igual a 1.
Passo 2
Apliquemos a divisão euclidiana de
por
. Existem inteiros
e
tais que
Passo 3
Para cada
escrevemos
Logo
Assim o somatório vira
Passo 4
Agora analisamos
Entre , exatamente
valores de
satisfazem
. Nesses
casos o piso é 1; nos outros
casos é 0.
Passo 5
Portanto
Substituindo no somatório principal,