Sejamaeb in N, ambos maiores que 1. Prove que:
[ab]+[ab+1b]+ldots+[ab+b-1b]=a
Resolução (para o caso 1<a<b ): Na seqüência de numeradores a , a+1, ldots, a+b-1 aparece b pois a<b e b<a+b-1 (já que 1<a ). Do colchete correspondente ao numerador b em diante, todos são iguais a 1. Por exemplo, o primeiro deles é [ab+b-ab]=[bb]=1
e o último [ab+b-1b]=[bb+a-1b]=1, pois a-1<b. Como o número destes colchetes iguais a 1 é a, e todos os anteriores são nulos, então a soma efetivamente é igual a a.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a,binN maiores que 1, vale
sumk=0^b-1lfloorab+kbrfloor = a
O conteúdo principal aqui é usar a divisão euclidiana de a por b e contar quantas parcelas no somatório têm parte inteira extra igual a 1.

Passo 2

Apliquemos a divisão euclidiana de a por b. Existem inteiros q e r tais que
a = qb + r, 0 <= r < b

Passo 3

Para cada k=0,1,dots,b-1 escrevemos
ab + kb = qb + rb + kb = q + r + kb
Logo
lfloorab+kbrfloor = lfloor q + r+kb rfloor = q + lfloor r+kb rfloor
Assim o somatório vira
sumk=0^b-1lfloorab+kbrfloor = sumk=0^b-1l(q + lfloortfracr+kbrfloorr) = bq + sumk=0^b-1lfloor r+kb rfloor

Passo 4

Agora analisamos
Entre , exatamente valores de satisfazem . Nesses casos o piso é 1; nos outros casos é 0.

Passo 5

Portanto
sumk=0^b-1lfloor r+kb rfloor = rcdot 1 + (b-r)cdot 0 = r
Substituindo no somatório principal,
sumk=0^b-1lfloorab+kbrfloor = bq + r = a

Resposta

sumk=0^b-1lfloorab+kbrfloor = a

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