Mostre que a função N(x, y, t)=\frac{{M}}{{4 \pi D t}} e^{{r t-\left(x^{{2}}+y^{{2}}\right) / 4 D t}} é uma solução da equação diferencial parcial
\frac{{\partial N}}{{\partial t}}=D\left(\frac{{\partial^{{2}} N}}{{\partial x^{{2}}}}+\frac{{\partial^{{2}} N}}{{\partial y^{{2}}}}\right)+r N

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
N(x,y,t)=\frac{M}{4\pi D\,t}\exp\!\Bigl(r\,t-\frac{x^2+y^2}{4D\,t}\Bigr)
satisfaz a equação de difusão com reação
\frac{\partial N}{\partial t} = D\Bigl(\frac{\partial^2 N}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 N}{\partial y^2}\Bigr) + r\,N.
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais de uma função com fator dependente de t e de um exponencial.

Passo 2

Escrevemos
N(x,y,t)=A(t)\exp\!\Bigl(r\,t-\tfrac{x^2+y^2}{4D\,t}\Bigr), \quad A(t)=\frac{M}{4\pi D\,t}.
Então
A'(t)=-\frac{M}{4\pi D}\,t^{-2}=-\frac{A(t)}{t},
e a derivada do expoente é
\frac{d}{dt}\Bigl(r\,t-\tfrac{x^2+y^2}{4D\,t}\Bigr) = r + \frac{x^2+y^2}{4D\,t^2}.
Logo
\frac{\partial N}{\partial t} = A'(t)e^{\cdots}+A(t)e^{\cdots}\Bigl(r+\tfrac{x^2+y^2}{4D\,t^2}\Bigr) = N\Bigl(-\tfrac1t + r + \tfrac{x^2+y^2}{4D\,t^2}\Bigr).

Passo 3

Para a derivada em x:
\frac{\partial N}{\partial x} = N\cdot\frac{d}{dx}\Bigl(-\tfrac{x^2}{4D\,t}\Bigr) = -\frac{x}{2D\,t}\,N,
e portanto
\frac{\partial^2 N}{\partial x^2} = -\frac{1}{2D\,t}\,N + \frac{x^2}{4D^2\,t^2}\,N.
Analogamente em y
\frac{\partial^2 N}{\partial y^2} = -\frac{1}{2D\,t}\,N + \frac{y^2}{4D^2\,t^2}\,N.
Somando e multiplicando por D, fica
D\Bigl(\frac{\partial^2 N}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 N}{\partial y^2}\Bigr) = -\frac{N}{t} + \frac{x^2+y^2}{4D\,t^2}\,N.

Passo 4

Agora adicionamos o termo r\,N:
D(\partial^2_xN+\partial^2_yN)+r\,N = N\Bigl(-\tfrac1t + \tfrac{x^2+y^2}{4D\,t^2}+r\Bigr),
que coincide exatamente com o valor de \partial N/\partial t obtido no Passo 2. Portanto a função satisfaz a PDE.

Resposta

Foi demonstrado que
\frac{\partial N}{\partial t} = D\Bigl(\frac{\partial^2 N}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 N}{\partial y^2}\Bigr) + r\,N,
ou seja, N(x,y,t) é solução da equação diferencial parcial dada.

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