Localize todos os pontos críticos, determine se existe um máximo ou mínimo relativo para cada um e trace o gráfico.
y=4 x^3-6 x^2+3 x+1,-infty<x<infty

Passo 1

O enunciado dá a função
y = 4x^3 - 6x^2 + 3x + 1, xin(-infty,infty),
e pede (a) todos os pontos críticos, (b) classificação de cada um como máximo ou mínimo relativo, e (c) um esboço do gráfico.
Conteúdo: derivada primeira para achar pontos críticos, derivada segunda para classificar e análise de crescimento/concavidade para o esboço.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira
y' = ddx(4x^3 - 6x^2 + 3x + 1) = 12x^2 - 12x + 3

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
y'=0 ;Longrightarrow; 12x^2 - 12x + 3 = 0
O discriminante é
De<a = (-12)^2 - 4cdot12cdot3 = 144 - 144 = 0,
logo existe uma única raiz dupla
x = 122cdot12 = tfrac12
O ponto crítico é l(tfrac12,,y(tfrac12)r). Calculando
yl(tfrac12r) = 4l(tfrac12r)^3 - 6l(tfrac12r)^2 + 3l(tfrac12r) + 1 = tfrac12 - tfrac32 + tfrac32 + 1 = tfrac32
Portanto o ponto crítico é l(tfrac12,tfrac32r).

Passo 4

Para classificar, fazemos a derivada segunda
y'' = ddx(12x^2 - 12x + 3) = 24x - 12
Em x=tfrac12 temos
y''l(tfrac12r) = 24cdottfrac12 - 12 = 0
Como y''<0 para x<tfrac12 (concavidade para baixo) e y''>0 para x>tfrac12 (concavidade para cima), o ponto l(tfrac12,tfrac32r) é um ponto de inflexão com tangente horizontal, mas não é nem máximo nem mínimo relativo.

Passo 5

Análise de monotonicidade e concavidade para o esboço:
  • y' = 12(x-tfrac12)^2>=0 para todo x, logo a curva é estritamente crescente (com tangente horizontal só em x=tfrac12).
  • y''<0 em (-infty,tfrac12) e y''>0 em (tfrac12,infty), ou seja, concavidade para baixo antes de x=tfrac12 e para cima depois.
  • Comportamento nos extremos:
    limxto-inftyy=-infty,
    limxto+inftyy=+infty.
  • Intercepto em y: em x=0, y(0)=1.
    Esboço: uma cúbica sempre crescente, com leve achatamento e mudança de concavidade em l(tfrac12,tfrac32r).

Resposta

Ponto crítico:
l(tfrac12,tfrac32r),
que é um ponto de inflexão com tangente horizontal (nem máximo nem mínimo relativo).
Esboço do gráfico:
– Função cresce de -infty a +infty.
– Tangente horizontal e mudança de concavidade em l(tfrac12,tfrac32r).
– Concava para baixo em x<tfrac12, para cima em x>tfrac12.

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