Localize todos os pontos críticos, determine se existe um máximo ou mínimo relativo para cada um e trace o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede (a) todos os pontos críticos, (b) classificação de cada um como máximo ou mínimo relativo, e (c) um esboço do gráfico.
Conteúdo: derivada primeira para achar pontos críticos, derivada segunda para classificar e análise de crescimento/concavidade para o esboço.
Conteúdo: derivada primeira para achar pontos críticos, derivada segunda para classificar e análise de crescimento/concavidade para o esboço.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
O discriminante é
logo existe uma única raiz dupla
O ponto crítico é
. Calculando
Portanto o ponto crítico é
.
Passo 4
Para classificar, fazemos a derivada segunda
Em
temos
Como
para
(concavidade para baixo) e
para
(concavidade para cima), o ponto
é um ponto de inflexão com tangente horizontal, mas não é nem máximo nem mínimo relativo.
Passo 5
Análise de monotonicidade e concavidade para o esboço:
-
para todo , logo a curva é estritamente crescente (com tangente horizontal só em ). -
em e em , ou seja, concavidade para baixo antes de e para cima depois. - Comportamento nos extremos:
,
. - Intercepto em
: em , .
Esboço: uma cúbica sempre crescente, com leve achatamento e mudança de concavidade em.
Resposta
Ponto crítico:
que é um ponto de inflexão com tangente horizontal (nem máximo nem mínimo relativo).
Esboço do gráfico:
– Função cresce de a
.
– Tangente horizontal e mudança de concavidade em .
– Concava para baixo em , para cima em
.
– Função cresce de
– Tangente horizontal e mudança de concavidade em
– Concava para baixo em