Localize todos os pontos críticos, determine se existe um máximo ou mínimo relativo para cada um e trace o gráfico.
y=sen 2 x-2 sen x,-pi <= x <= pi

Passo 1

O enunciado define a função
y = sin(2x) - 2sin x, -pi <= x <= pi
e pede (i) localizar pontos críticos, (ii) dizer se cada um é máximo ou mínimo relativo, e (iii) esboçar o gráfico. O conteúdo usado será derivadas para encontrar y', resolver y'=0, e usar y'' para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos a derivada de
y = sin(2x) - 2sin x
pela regra da cadeia e soma:
y' = ddxl[sin(2x)r] - 2ddx[sin x] = 2cos(2x) - 2cos x
Para simplificar, note que
cos(2x) = 2cos^2 x - 1,
logo
y' = 2l(2cos^2 x -1r) - 2cos x = 2l(2cos^2 x - cos x -1r)

Passo 3

Resolvendo y'=0:
2l(2cos^2 x - cos x -1r)=0 ;Longrightarrow; 2cos^2 x - cos x -1 = 0
Fatorando:
2cos^2 x - cos x -1 = (2cos x +1)(cos x -1)=0,
então
cos x = 1 ou cos x = -tfrac12
No intervalo -pi<= x<=pi isso dá
x = 0 e x = pm tfrac2pi3

Passo 4

Para classificar usamos a segunda derivada. Partindo de
y' = 2l(2cos^2 x - cos x -1r),
temos
y'' = ddx[,2cos(2x) -2cos x,] = -4sin(2x) +2sin x =2sin x,(1-4cos x)
Avaliamo-la em cada ponto crítico:
1. Em x=0: sin0=0 y''(0)=0. Checamos o sinal de y' em torno de 0 e vemos que y'<0 tanto à esquerda quanto à direita, logo x=0 não é extremum (é ponto de inflexão).
2. Em x=2pi/3: sin(2pi/3)=tfracraiz32>0, cos(2pi/3)=-tfrac12 implica 1-4cos x=1+2=3>0. Então
y''l(2pi/3r)=2cdottfracraiz32cdot3=3raiz3>0,
sendo x=2pi/3 um mínimo relativo.
3. Em x=-2pi/3: sin(-2pi/3)=-tfracraiz32<0, e 1-4cos x=3>0, portanto
y''l(-2pi/3r)=2cdotl(-tfracraiz32r)cdot3=-3raiz3<0,
sendo x=-2pi/3 um máximo relativo.

Passo 5

Calculamos os valores de y nesses pontos e nos extremos do intervalo:
  • Em x=-pi e x=pi: sin(2x)=0, sin x=0, logo y=0.
  • Em x=0: sin(0)=0, então y=0.
  • Em x=2pi/3:
    sin(4pi/3)=-tfracraiz32, sin(2pi/3)=tfracraiz32, yl(2pi/3r) = -tfracraiz32 -2cdottfracraiz32 = -tfrac3raiz32
  • Em x=-2pi/3:
    sin(-4pi/3)=tfracraiz32, sin(-2pi/3)=-tfracraiz32, yl(-2pi/3r) = tfracraiz32 -2l(-tfracraiz32r) = tfrac3raiz32
Assim o máximo relativo (e global no intervalo) é
l(x,yr)=l(-tfrac2pi3,tfrac3raiz32r)
e o mínimo relativo (e global) é
l(tfrac2pi3,-tfrac3raiz32r).

Passo 6

Esboço do gráfico de y em [-pi,pi]:
  • Zera em x=-pi,,0,,pi.
  • Sobe de y(-pi)=0 até y(-2pi/3)=tfrac3raiz32, depois cai passando por y(0)=0.
  • Continua decrescendo até y(2pi/3)=-tfrac3raiz32 e então sobe de volta até y(pi)=0.
Gráfico qualitativo:
l y uparrow bul<=tl(-2pi3,3raiz32r) | diagupoverlineoverlineoverlineoverlineoverline | diagup | bul<=tl(-pi,0r) bul<=tl(0,0r) | backslash | backslash | bul<=tl(2pi3,-3raiz32r) | backslash +--------------------------------to x -pi -2pi3 0 2pi3 pi

Resposta

Pontos críticos em -pi<= x<=pi:
;x=-tfrac2pi3 (máximo relativo, y=tfrac3raiz32),
;x=0 (ponto de inflexão, y=0),
;x=2pi/3 (mínimo relativo, y=-tfrac3raiz32).
O gráfico cruza o eixo x em -pi,0,pi e apresenta o esboço mostrado acima.

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