Localize todos os pontos críticos, determine se existe um máximo ou mínimo relativo para cada um e trace o gráfico.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede (i) localizar pontos críticos, (ii) dizer se cada um é máximo ou mínimo relativo, e (iii) esboçar o gráfico. O conteúdo usado será derivadas para encontrar
, resolver
, e usar
para classificar cada ponto.
Passo 2
Calculamos a derivada de
pela regra da cadeia e soma:
Para simplificar, note que
logo
Passo 3
Resolvendo
:
Fatorando:
então
No intervalo
isso dá
Passo 4
Para classificar usamos a segunda derivada. Partindo de
temos
Avaliamo-la em cada ponto crítico:
sendo
um mínimo relativo.
sendo
um máximo relativo.
Passo 5
Calculamos os valores de
nesses pontos e nos extremos do intervalo:
- Em
e : , , logo . - Em
: , então . - Em
:
, , - Em
:
, ,
Assim o máximo relativo (e global no intervalo) é
e o mínimo relativo (e global) é
.
e o mínimo relativo (e global) é
Passo 6
Esboço do gráfico de
em
:
- Zera em
. - Sobe de
até , depois cai passando por . - Continua decrescendo até
e então sobe de volta até .
Gráfico qualitativo:
Resposta
Pontos críticos em
:
(máximo relativo,
),
(ponto de inflexão,
),
(mínimo relativo,
).
O gráfico cruza o eixo em
e apresenta o esboço mostrado acima.
O gráfico cruza o eixo