Mostre que a função possui sòmente um ponto crítico x0 no intervalo dado e determine se existe um máximo ou mínimo relativo. Determine também o máximo absoluto M eo mínimo absoluto m (se existirem) e trace o gráfico.
y=e^-x sen 2 x, , 0 <= x <= pi / 2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função
y = e^-xsin(2x),
no intervalo [0,tfracpi2]:
– mostrar que existe apenas um ponto crítico x0 ali,
– verificar se em x0 ocorre máximo ou mínimo relativo,
– determinar máximo absoluto M e mínimo absoluto m,
– esboçar o gráfico.
Para isso precisamos da derivada, do teste de sinal ou segunda derivada, e da comparação de valores em 0, tfracpi2 e em x0.

Passo 2

Calculamos a derivada usando regra do produto e da cadeia:
y'=ddxl(e^-xsin(2x)r) =e^-x(-1),sin(2x)+e^-x,(2cos(2x)) =e^-xl(2cos(2x)-sin(2x)r)
Como e^-x>0 para todo x, a condição y'=0 equivale a
2cos(2x)-sin(2x)=0 Long<=ftrightarrow tan(2x)=2
No domínio 0<=2x<=pi a única solução é
2x=arctan(2) Longrightarrow x0=tfrac12arctan(2),
pois a outra possibilidade 2x=arctan(2)+pi x>tfracpi2.

Passo 3

Para classificar x0 usamos o teste de sinal de y':
– Em x=0:
y'(0)=e^0l(2cos0-sin0r)=2>0,
logo y é crescente logo antes de x0.
– Em x=tfracpi4approx0,785> x0:
y'l(tfracpi4r) =e^-pi/4l(2cos(tfracpi2)-sin(tfracpi2)r) =e^-pi/4(-1)<0,
então y é decrescente logo depois de x0.
Portanto em x0 há um máximo relativo.

Passo 4

Agora comparamos valores de y em 0, tfracpi2 e x0:
y(0)=e^0sin0=0.
y(tfracpi2)=e^-pi/2sinpi=0.
– Em x0:
y(x0) =e^-x0sinl(2x0r) =e^-tfrac12arctan(2)sinl(arctan(2)r) =e^-tfrac12arctan(2)2raiz5
Como esse valor é positivo e maior que os zeros nas bordas, ele é o máximo absoluto
M = e^-tfrac12arctan(2)2raiz5
Não há valores negativos de y em (0,tfracpi2), logo o mínimo absoluto é
m = 0,
ocorrendo em x=0 e x=tfracpi2.

Passo 5

Esboço do gráfico: começa em (0,0), sobe de forma suave até atingir o pico em l(x0,y(x0)r), depois decresce até (tfracpi2,0). Não há outras oscilações porque sin(2x)>0 em (0,tfracpi2).

Resposta

O único ponto crítico é
x0=tfrac12arctan(2),
onde ocorre um máximo relativo e absoluto
M = e^-tfrac12arctan(2)2raiz5
O mínimo absoluto é
m=0,
nos extremos x=0 e x=tfracpi2.

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