Mostre que a função possui sòmente um ponto crítico
no intervalo dado e determine se existe um máximo ou mínimo relativo. Determine também o máximo absoluto
eo mínimo absoluto
(se existirem) e trace o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função
no intervalo
:
– mostrar que existe apenas um ponto crítico ali,
– verificar se em ocorre máximo ou mínimo relativo,
– determinar máximo absoluto e mínimo absoluto
,
– esboçar o gráfico.
Para isso precisamos da derivada, do teste de sinal ou segunda derivada, e da comparação de valores em ,
e em
.
– mostrar que existe apenas um ponto crítico
– verificar se em
– determinar máximo absoluto
– esboçar o gráfico.
Para isso precisamos da derivada, do teste de sinal ou segunda derivada, e da comparação de valores em
Passo 2
Calculamos a derivada usando regra do produto e da cadeia:
Como
para todo
, a condição
equivale a
No domínio
a única solução é
pois a outra possibilidade
dá
.
Passo 3
Para classificar
usamos o teste de sinal de
:
– Em :
– Em
logo
é crescente logo antes de
.
– Em :
– Em
então
é decrescente logo depois de
.
Portanto em há um máximo relativo.
Portanto em
Passo 4
Agora comparamos valores de
em
,
e
:
– .
– .
– Em :
–
–
– Em
Como esse valor é positivo e maior que os zeros nas bordas, ele é o máximo absoluto
Não há valores negativos de
em
, logo o mínimo absoluto é
ocorrendo em
e
.
Passo 5
Esboço do gráfico: começa em
, sobe de forma suave até atingir o pico em
, depois decresce até
. Não há outras oscilações porque
em
.
Resposta
O único ponto crítico é
onde ocorre um máximo relativo e absoluto
O mínimo absoluto é
nos extremos
e
.