Mostre que, se
é par, os valores de
para
vão crescendo, atingem um valor máximo para
e depois vão decrescendo.
Solução
Consideramos dois coeficientes binomiais consecutivos
e
e cal-
culemos seu quociente: culemos seu quociente:
a) Os valores de
irão crescendo até atingir o máximo se, e somente se,
Portanto:
Isto é,
irá crescendo, quando
variar de 0 até o menor inteiro que não supera
, que é
.
b) Os valores de
irão decrescendo se, e somente se,
.
Portanto:
Isto é
irá decrescendo, quando
variar de
até
.
c) De (a) concluímos que o maior valor de
é atingido para
.
Exemplo:
Os coeficientes binomiais para
são:
4
aumenta
6
valor
máximo
4
diminui
culemos seu quociente: culemos seu quociente:
a) Os valores de
Isto é,
b) Os valores de
Isto é
c) De (a) concluímos que o maior valor de
Os coeficientes binomiais para
4
aumenta
6
valor
máximo
4
diminui
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, quando
é par, a sequência
é estritamente crescente enquanto o índice vai de
até
, atinge o valor máximo em
e depois é estritamente decrescente.
Conteúdo: usaremos o quociente entre dois coeficientes binomiais consecutivos para analisar monotonicidade.
é estritamente crescente enquanto o índice
Conteúdo: usaremos o quociente entre dois coeficientes binomiais consecutivos para analisar monotonicidade.
Passo 2
Considere dois termos consecutivos da sequência:
e
. Seu quociente é
Passo 3
Para a sequência ser crescente em
, precisamos de
Como
é par,
não é inteiro, logo todos os
inteiros que satisfazem
vão de
até
. Portanto a sequência cresce de
até
.
Passo 4
Analogamente, para a sequência ser decrescente em
, basta
Isso significa que, para
, a sequência decresce de forma estrita até
.
Passo 5
Não há nenhum
inteiro em que o quociente seja exatamente
, pois
não é inteiro. Dessa forma, o termo de índice
é o último em que ocorre crescimento e o primeiro ponto em que começa a valer a condição de decrescimento. Logo
é o valor máximo único.
Resposta
A sequência
cresce estritamente até
, atinge ali seu valor máximo e depois decresce estritamente.