Mostre que, se n(n >= 2) é par, os valores de binomnp para p=0,1,2, ldots, n vão crescendo, atingem um valor máximo para p=n2 e depois vão decrescendo.

Solução

Consideramos dois coeficientes binomiais consecutivos binomnp-1 e binomnp e cal-
culemos seu quociente: culemos seu quociente:
binomnpbinomnp-1=n!p!(n-p)!n!(p-1)!(n-p+1)!=n-p+1p
a) Os valores de binomnp irão crescendo até atingir o máximo se, e somente se, n-p+1p>1
Portanto:
n-p+1>p Leftrightarrow n+1>2 p Leftrightarrow p<n+12
Isto é, binomnp irá crescendo, quando p variar de 0 até o menor inteiro que não supera n+12, que é n2.
b) Os valores de binomnp irão decrescendo se, e somente se, n-p+1p<1.
Portanto:
n-p+1<p Leftrightarrow n+1<2 p Leftrightarrow p>n+12
Isto é binomnp irá decrescendo, quando p variar de n2+1 até n.
c) De (a) concluímos que o maior valor de binomnp é atingido para p=n2.
Exemplo:
Os coeficientes binomiais para n=4 são:
binom40
binom41
4

aumenta
binom42
6
uparrow
valor
máximo
binom43 binom44
4
diminui

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, quando n>=2 é par, a sequência
binomn0,binomn1,dots,binomnn
é estritamente crescente enquanto o índice p vai de 0 até tfrac n2, atinge o valor máximo em p=tfrac n2 e depois é estritamente decrescente.
Conteúdo: usaremos o quociente entre dois coeficientes binomiais consecutivos para analisar monotonicidade.

Passo 2

Considere dois termos consecutivos da sequência: binomnp-1 e binomnp. Seu quociente é
binomnpbinomnp-1 =n!p!(n-p)!n!(p-1)!(n-p+1)! =(p-1)!,(n-p+1)!p!,(n-p)! =n-p+1p

Passo 3

Para a sequência ser crescente em p, precisamos de
binomnpbinomnp-1>1 Long<=ftrightarrow n-p+1p>1 Long<=ftrightarrow n-p+1>p Long<=ftrightarrow p<n+12
Como n é par, tfracn+12=tfrac n2+tfrac12 não é inteiro, logo todos os p inteiros que satisfazem p<tfracn+12 vão de 0 até n/2. Portanto a sequência cresce de p=0 até p=n/2.

Passo 4

Analogamente, para a sequência ser decrescente em p, basta
binomnpbinomnp-1<1 Long<=ftrightarrow p>n+12
Isso significa que, para p>= tfrac n2+1, a sequência decresce de forma estrita até p=n.

Passo 5

Não há nenhum p inteiro em que o quociente seja exatamente 1, pois tfracn+12 não é inteiro. Dessa forma, o termo de índice p=tfrac n2 é o último em que ocorre crescimento e o primeiro ponto em que começa a valer a condição de decrescimento. Logo binomnn/2 é o valor máximo único.

Resposta

A sequência lbinomnprp=0^n cresce estritamente até p=tfrac n2, atinge ali seu valor máximo e depois decresce estritamente.

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