8.1.5 Em uma distribuição maxwelliana a fração de partículas com velocidade entre
e
é
sendo
o número total de partículas. A média ou valor esperado de
é definida como
. Mostre que
Passo 1
O enunciado trata da distribuição de velocidades Maxwelliana em que a fração de partículas com velocidade entre
e
é
Queremos calcular o valor esperado
usando técnicas de integração e a função Gama.
Passo 2
Escrevendo explicitamente o integral, temos
Defina
. Então o integral se torna
Passo 3
Usamos a integral de Gama para variáveis positivas: se
e
,
Aqui
,
de modo que
e
. Logo
Passo 4
Substituindo de volta em
:
Agora note que
. Assim
Agrupando as potências de
e
obtemos
Como
, segue
de modo que finalmente