8.1.5 Em uma distribuição maxwelliana a fração de partículas com velocidade entre v e v+d v é
\frac{d N}{N}=4 \pi\left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{3 / 2} \exp \left(-\frac{m v^{2}}{2 k T}\right) v^{2} d v
sendo N o número total de partículas. A média ou valor esperado de v^{n} é definida como \left\langle v^{n}\right\rangle= N^{-1} \int v^{n} d N. Mostre que
\left\langle v^{n}\right\rangle=\left(\frac{2 k T}{m}\right)^{n / 2} \frac{\Gamma\left(\frac{n+3}{2}\right)}{\Gamma(3 / 2)}

Passo 1

O enunciado trata da distribuição de velocidades Maxwelliana em que a fração de partículas com velocidade entre v e v+dv é
\frac{dN}{N} = 4\pi\Bigl(\frac{m}{2\pi kT}\Bigr)^{3/2} \exp\Bigl(-\frac{mv^2}{2kT}\Bigr)\,v^2\,dv.
Queremos calcular o valor esperado
\langle v^n\rangle = \frac{1}{N}\int_0^\infty v^n\,dN
usando técnicas de integração e a função Gama.

Passo 2

Escrevendo explicitamente o integral, temos
\langle v^n\rangle = 4\pi\Bigl(\frac{m}{2\pi kT}\Bigr)^{3/2} \int_{0}^{\infty} v^n \exp\Bigl(-\frac{mv^2}{2kT}\Bigr)\,v^2\,dv.
Defina \beta = \tfrac{m}{2kT}. Então o integral se torna
\langle v^n\rangle = 4\pi\Bigl(\frac{m}{2\pi kT}\Bigr)^{3/2} \int_{0}^{\infty}v^{\,n+2}e^{-\beta v^2}\,dv.

Passo 3

Usamos a integral de Gama para variáveis positivas: se a>0 e b>0,
\int_{0}^{\infty}x^{\,a-1}e^{-b x^2}dx = \frac{1}{2}\,b^{-a/2}\,\Gamma\!\Bigl(\frac{a}{2}\Bigr).
Aqui x=v, a-1 = n+2 de modo que a=n+3 e b=\beta. Logo
\int_{0}^{\infty}v^{\,n+2}e^{-\beta v^2}dv = \frac{1}{2}\,\beta^{-\frac{n+3}{2}} \,\Gamma\!\Bigl(\frac{n+3}{2}\Bigr).

Passo 4

Substituindo de volta em \langle v^n\rangle:
\langle v^n\rangle = 4\pi\Bigl(\frac{m}{2\pi kT}\Bigr)^{3/2} \cdot \frac{1}{2}\,\beta^{-\frac{n+3}{2}} \,\Gamma\!\Bigl(\frac{n+3}{2}\Bigr).
Agora note que \beta^{-\frac{n+3}{2}}=(2kT/m)^{\frac{n+3}{2}}. Assim
\langle v^n\rangle = 2\pi \Bigl(\frac{m}{2\pi kT}\Bigr)^{3/2} (2kT/m)^{\frac{n+3}{2}} \,\Gamma\!\Bigl(\frac{n+3}{2}\Bigr).
Agrupando as potências de \tfrac{m}{2\pi kT} e \tfrac{2kT}{m} obtemos
\langle v^n\rangle = (2kT/m)^{\frac{n}{2}} \;\frac{2\pi}{\pi^{3/2}} \;\Gamma\!\Bigl(\frac{n+3}{2}\Bigr) = (2kT/m)^{\frac{n}{2}} \;\frac{2}{\sqrt\pi} \;\Gamma\!\Bigl(\frac{n+3}{2}\Bigr).
Como \Gamma(3/2)=\tfrac{\sqrt\pi}{2}, segue
\frac{2}{\sqrt\pi} = \frac{1}{\Gamma(3/2)},
de modo que finalmente
\langle v^n\rangle = \Bigl(\frac{2kT}{m}\Bigr)^{\!n/2} \frac{\Gamma\!\bigl(\frac{n+3}{2}\bigr)}{\Gamma(3/2)}.

Resposta

\boxed{ \langle v^n\rangle = \Bigl(\frac{2kT}{m}\Bigr)^{\!n/2} \frac{\Gamma\!\bigl(\frac{n+3}{2}\bigr)}{\Gamma(3/2)} }.

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