8.1.5 Em uma distribuição maxwelliana a fração de partículas com velocidade entre v e v+d v é
d NN=4 pi(m2 pi k T)^3 / 2 exp (-m v^22 k T) v^2 d v
sendo N o número total de partículas. A média ou valor esperado de v^n é definida como lang<= v^nrang<== N^-1 integral v^n d N. Mostre que
lang<= v^nrang<==(2 k Tm)^n / 2 Gamma(n+32)Gamma(3 / 2)

Passo 1

O enunciado trata da distribuição de velocidades Maxwelliana em que a fração de partículas com velocidade entre v e v+dv é
dNN = 4pil(m2pi kTr)^3/2 expl(-mv^22kTr),v^2,dv
Queremos calcular o valor esperado
lang<= v^nrang<= = 1Nintegral0^infty v^n,dN
usando técnicas de integração e a função Gama.

Passo 2

Escrevendo explicitamente o integral, temos
lang<= v^nrang<= = 4pil(m2pi kTr)^3/2 integral0^infty v^n expl(-mv^22kTr),v^2,dv
Defina beta = tfracm2kT. Então o integral se torna
lang<= v^nrang<= = 4pil(m2pi kTr)^3/2 integral0^inftyv^,n+2e^-beta v^2,dv

Passo 3

Usamos a integral de Gama para variáveis positivas: se a>0 e b>0,
integral0^inftyx^,a-1e^-b x^2dx = 12,b^-a/2,Gamma!l(a2r)
Aqui x=v, a-1 = n+2 de modo que a=n+3 e b=beta. Logo
integral0^inftyv^,n+2e^-beta v^2dv = 12,beta^-n+32 ,Gamma!l(n+32r)

Passo 4

Substituindo de volta em lang<= v^nrang<=:
lang<= v^nrang<= = 4pil(m2pi kTr)^3/2 cdot 12,beta^-n+32 ,Gamma!l(n+32r)
Agora note que beta^-n+32=(2kT/m)^n+32. Assim
lang<= v^nrang<= = 2pi l(m2pi kTr)^3/2 (2kT/m)^n+32 ,Gamma!l(n+32r)
Agrupando as potências de tfracm2pi kT e tfrac2kTm obtemos
lang<= v^nrang<= = (2kT/m)^n2 ;2pipi^3/2 ;Gamma!l(n+32r) = (2kT/m)^n2 ;2raizpi ;Gamma!l(n+32r)
Como Gamma(3/2)=tfracraizpi2, segue
2raizpi = 1Gamma(3/2),
de modo que finalmente
lang<= v^nrang<= = l(2kTmr)^!n/2 Gamma!l(n+32r)Gamma(3/2)

Resposta

boxed lang<= v^nrang<= = l(2kTmr)^!n/2 Gamma!l(n+32r)Gamma(3/2)

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