8.1.2 Em uma solução de série de potências para as funções de Legendre da segunda espécie, encontramos a expressão
\frac{(n+1)(n+2)(n+3) \cdots(n+2 s-1)(n+2 s)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdots(2 s-2)(2 s) \cdot(2 n+3)(2 n+5)(2 n+7) \cdots(2 n+2 s+1)},
na qual s é um inteiro positivo. Reescreva essa expressão em termos de fatoriais.

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\frac{(n+1)(n+2)\cdots(n+2s)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2s)\,\,(2n+3)(2n+5)\cdots(2n+2s+1)}
e pede para reescrevê-la em termos de fatoriais. Vamos identificar o numerador e o denominador e reescrevê-los como razões de fatoriais.

Passo 2

O numerador é o produto de 2s termos consecutivos a partir de n+1, logo
(n+1)(n+2)\cdots(n+2s)=\frac{(n+2s)!}{n!}.
O primeiro fator do denominador é
2\cdot4\cdot6\cdots(2s)=2^s\,s!.

Passo 3

O segundo fator do denominador é
(2n+3)(2n+5)\cdots(2n+2s+1) =\prod_{k=1}^s\bigl(2n+2k+1\bigr) =\frac{(2n+2s+1)!!}{(2n+1)!!},
onde o duplo fatorial de um ímpar satisfaz
(2m+1)!!=\frac{(2m+1)!}{2^m\,m!}.

Passo 4

Substituindo tudo na expressão original, temos
\frac{\tfrac{(n+2s)!}{n!}} {2^s\,s!\,\dfrac{(2n+2s+1)!!}{(2n+1)!!}} =\frac{(n+2s)!}{n!\,2^s\,s!}\;\frac{(2n+1)!!}{(2n+2s+1)!!}.
Agora trocamos os duplos fatoriais por fatoriais:
(2n+1)!!=\frac{(2n+1)!}{2^n\,n!}, \quad (2n+2s+1)!!=\frac{(2n+2s+1)!}{2^{\,n+s}\,(n+s)!}.
Isso leva a cancelamentos de potências de 2 e resulta em
\frac{(n+2s)!\,(2n+1)!\,(n+s)!} {(n!)^2\,s!\,(2n+2s+1)!}.

Resposta

\boxed{ \frac{(n+2s)!\,(n+s)!\,(2n+1)!}{(n!)^2\,s!\,(2n+2s+1)! }. }

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