8.1.2 Em uma solução de série de potências para as funções de Legendre da segunda espécie, encontramos a expressão
na qual
é um inteiro positivo. Reescreva essa expressão em termos de fatoriais.
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e pede para reescrevê-la em termos de fatoriais. Vamos identificar o numerador e o denominador e reescrevê-los como razões de fatoriais.
Passo 2
O numerador é o produto de
termos consecutivos a partir de
, logo
O primeiro fator do denominador é
Passo 3
O segundo fator do denominador é
onde o duplo fatorial de um ímpar satisfaz
Passo 4
Substituindo tudo na expressão original, temos
Agora trocamos os duplos fatoriais por fatoriais:
Isso leva a cancelamentos de potências de 2 e resulta em