8.1.2 Em uma solução de série de potências para as funções de Legendre da segunda espécie, encontramos a expressão
(n+1)(n+2)(n+3) cdots(n+2 s-1)(n+2 s)2 cdot 4 cdot 6 cdot 8 cdots(2 s-2)(2 s) cdot(2 n+3)(2 n+5)(2 n+7) cdots(2 n+2 s+1),
na qual s é um inteiro positivo. Reescreva essa expressão em termos de fatoriais.

Passo 1

O enunciado dá a expressão
(n+1)(n+2)cdots(n+2s)2cdot4cdot6cdots(2s),,(2n+3)(2n+5)cdots(2n+2s+1)
e pede para reescrevê-la em termos de fatoriais. Vamos identificar o numerador e o denominador e reescrevê-los como razões de fatoriais.

Passo 2

O numerador é o produto de 2s termos consecutivos a partir de n+1, logo
(n+1)(n+2)cdots(n+2s)=(n+2s)!n!
O primeiro fator do denominador é
2cdot4cdot6cdots(2s)=2^s,s!

Passo 3

O segundo fator do denominador é
(2n+3)(2n+5)cdots(2n+2s+1) =prodk=1^sl(2n+2k+1r) =(2n+2s+1)!!(2n+1)!!,
onde o duplo fatorial de um ímpar satisfaz
(2m+1)!!=(2m+1)!2^m,m!

Passo 4

Substituindo tudo na expressão original, temos
tfrac(n+2s)!n! 2^s,s!,dfrac(2n+2s+1)!!(2n+1)!! =(n+2s)!n!,2^s,s!;(2n+1)!!(2n+2s+1)!!
Agora trocamos os duplos fatoriais por fatoriais:
(2n+1)!!=(2n+1)!2^n,n!, (2n+2s+1)!!=(2n+2s+1)!2^,n+s,(n+s)!
Isso leva a cancelamentos de potências de 2 e resulta em
(n+2s)!,(2n+1)!,(n+s)! (n!)^2,s!,(2n+2s+1)!

Resposta

boxed (n+2s)!,(n+s)!,(2n+1)!(n!)^2,s!,(2n+2s+1)!

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