Se
, prove por induçāo sobre
que
, para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução em
, a fatoração da diferença de potências
valendo para todo
e
. Vamos usar o princípio da indução matemática.
Passo 2
Base da indução: para
temos
e o lado direito da fórmula é
Logo a fórmula é verdadeira em
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para algum
valha
Passo 4
Passo indutivo: queremos mostrar que
Reescrevemos
Pela hipótese de indução substituímos
e fatoramos
:
Passo 5
Dentro do parênteses obtemos
que é exatamente a soma dos
termos desejada. Assim concluímos que se a fórmula vale para
então vale para
.
Resposta
Por indução em
fica provado que, para todo
,