Se a, b in Z, prove por induçāo sobre n que a^n-b^n=(a-b) (a^n-1+a^n-2 b+ldots+a b^n-2+b^n-1), para todo n >= 1.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n, a fatoração da diferença de potências
a^n - b^n = (a-b)l(a^n-1 + a^n-2b + dots + b^n-1r)
valendo para todo n>=1 e a,binZ. Vamos usar o princípio da indução matemática.

Passo 2

Base da indução: para n=1 temos
a^1 - b^1 = a - b
e o lado direito da fórmula é
(a-b)l(a^1-1r) = (a-b)cdot 1 = a - b
Logo a fórmula é verdadeira em n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum n>=1 valha
a^n - b^n = (a-b)l(a^n-1 + a^n-2b + dots + b^n-1r)

Passo 4

Passo indutivo: queremos mostrar que
a^n+1 - b^n+1 = (a-b)l(a^n + a^n-1b + dots + b^nr)
Reescrevemos
a^n+1 - b^n+1 = acdot a^n - bcdot b^n = al(a^n - b^nr) + b^nl(a - br)
Pela hipótese de indução substituímos a^n - b^n e fatoramos a-b:
a^n+1 - b^n+1 = a,(a-b)l(a^n-1 + dots + b^n-1r) + b^n,(a-b) = (a-b)l(a,(a^n-1 + dots + b^n-1) + b^nr)

Passo 5

Dentro do parênteses obtemos
a,(a^n-1 + a^n-2b + dots + b^n-1) + b^n = a^n + a^n-1b + dots + ab^n-1 + b^n,
que é exatamente a soma dos n+1 termos desejada. Assim concluímos que se a fórmula vale para n então vale para n+1.

Resposta

Por indução em n fica provado que, para todo n>=1,
a^n - b^n = (a-b)l(a^n-1 + a^n-2b + dots + b^n-1r)

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