Mostre que o lado oposto ao ângulo obtuso de um triângulo obtusângulo é maior que cada um dos outros lados.

Passo 1

Temos um triângulo ABC no qual ang<= A é obtuso, isto é, ang<= A>90^circ. Denotemos por
a = BC, b = CA, c = AB
os comprimentos dos lados opostos a A, B e C, respectivamente. Queremos mostrar que a é maior que b e também maior que c. Para isso vamos usar a lei dos cossenos e o fato de que cos A<0 quando ang<= A é obtuso.

Passo 2

A lei dos cossenos num triângulo geral diz que, para o ângulo A,
a^2 ;=; b^2 + c^2 ;-; 2,b,c,cos A

Passo 3

Como ang<= A>90^circ temos cos A<0. Portanto o termo -2,b,c,cos A é positivo, isto é,
-2,b,c,cos A ;>; 0 Longrightarrow a^2 = b^2 + c^2 - 2,b,c,cos A ;>; b^2 + c^2

Passo 4

Da desigualdade a^2>b^2+c^2 seguem-se duas coisas:
  1. Como b^2+c^2>b^2, temos a^2>b^2, logo a>b.
  2. Como b^2+c^2>c^2, temos a^2>c^2, logo a>c.

Resposta

Fica demonstrado que o lado oposto ao ângulo obtuso ( a=BC) é maior que cada um dos outros dois lados:
BC>CA e BC>AB

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