Prove que qualquer lado de um triângulo é menor que o semiperímetro.
Passo 1
Temos um triângulo cujos lados medem
,
e
. O semiperímetro desse triângulo é definido por
Para provar que qualquer lado é menor que
, vamos usar a desigualdade triangular, que diz que a soma de dois lados de um triângulo é sempre maior que o terceiro lado, e depois manipular algebricamente.
Passo 2
Pela desigualdade triangular aplicada aos lados
e
, temos
Somando
aos dois lados desta desigualdade resulta
e dividindo por
obtemos
ou seja,
Passo 3
De modo completamente análogo, aplicamos a desigualdade triangular aos pares
e
:
Resposta
ou seja, em qualquer triângulo cada lado é menor que o semiperímetro.