Prove que qualquer lado de um triângulo é menor que o semiperímetro.

Passo 1

Temos um triângulo cujos lados medem a, b e c. O semiperímetro desse triângulo é definido por
s = a + b + c2
Para provar que qualquer lado é menor que s, vamos usar a desigualdade triangular, que diz que a soma de dois lados de um triângulo é sempre maior que o terceiro lado, e depois manipular algebricamente.

Passo 2

Pela desigualdade triangular aplicada aos lados b e c, temos
b + c > a
Somando a aos dois lados desta desigualdade resulta
a + b + c > 2a
e dividindo por 2 obtemos
a + b + c2 > a,
ou seja,
s > a

Passo 3

De modo completamente análogo, aplicamos a desigualdade triangular aos pares (a,c) e (a,b):
a + c > b Longrightarrow a + b + c > 2b Longrightarrow s > b,
a + b > c Longrightarrow a + b + c > 2c Longrightarrow s > c

Resposta

s > a, s > b, s > c,
ou seja, em qualquer triângulo cada lado é menor que o semiperímetro.

Exercícios de Livros Relacionados