Se
é um ponto interno de um triângulo
e
e
, mostre que
está entre o semiperímetro e o perímetro do triângulo.
Passo 1
Temos um triângulo
de lados
e um ponto
em seu interior. Definimos
O enunciado pede para mostrar que
ou seja, que
fica entre o semiperímetro
e o perímetro
.
Passo 2
(Prova do limite inferior)
Em cada um dos três triângulos ,
e
aplicamos a desigualdade triangular:
Em cada um dos três triângulos
Somando as três desigualdades obtém-se
que é exatamente
.
Passo 3
(Prova do limite superior)
Como
está no interior de
, existem coeficientes
com
tais que
Então, pela desigualdade triangular em cada distância, por exemplo
e analogamente
Somando essas três estimativas:
[
x+y+z \le
(\beta c + \gamma b)
+(\alpha c + \gamma a)
+(\alpha a + \beta b)
a(\alpha+\gamma)+b(\beta+\gamma)+c(\alpha+\beta).
]
]
Como
, temos
etc., de modo que
pois
.
Resposta
isto é,
está estritamente entre o semiperímetro e o perímetro de
.