Se P é um ponto interno de um triângulo A B C e x=P A, y=P B e z=P C, mostre que x+y+z está entre o semiperímetro e o perímetro do triângulo.

Passo 1

Temos um triângulo ABC de lados
a = BC, b = CA, c = AB
e um ponto P em seu interior. Definimos
x = PA, y = PB, z = PC
O enunciado pede para mostrar que
a+b+c2;<=;x+y+z;<=;a+b+c,
ou seja, que x+y+z fica entre o semiperímetro s=(a+b+c)/2 e o perímetro a+b+c.

Passo 2

(Prova do limite inferior)
Em cada um dos três triângulos PBC, PCA e PAB aplicamos a desigualdade triangular:
y + z > BC = a,
z + x > CA = b,
x + y > AB = c
Somando as três desigualdades obtém-se
2(x+y+z) > a + b + c Longrightarrow x+y+z > a+b+c2,
que é exatamente x+y+z > s.

Passo 3

(Prova do limite superior)
Como P está no interior de ABC, existem coeficientes alpha,beta,gamma>0 com alpha+beta+gamma=1 tais que
P = alpha A + beta B + gamma C
Então, pela desigualdade triangular em cada distância, por exemplo
PB = |P - B| = |alpha(A-B)+gamma(C-B)| <= alpha,|A-B| + gamma,|C-B| = alpha,c + gamma,a,
e analogamente
PA <= beta,c + gamma,b, PC <= alpha,a + beta,b
Somando essas três estimativas:
x+y+z <= (beta c + gamma b) +(alpha c + gamma a) +(alpha a + beta b) = a(alpha+gamma)+b(beta+gamma)+c(alpha+beta)
Como alpha+beta+gamma=1, temos alpha+gamma=1-beta etc., de modo que
x+y+z <= a(1-beta) + b(1-alpha) + c(1-gamma) = (a+b+c) - (beta a + alpha b + gamma c) < a+b+c,
pois alpha,beta,gamma>0.

Resposta

a+b+c2 < x+y+z < a+b+c,
isto é, ;x+y+z está estritamente entre o semiperímetro e o perímetro de ABC.

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