Se P é um ponto interno de um triângulo A B C e x=P A, y=P B e z=P C, mostre que x+y+z está entre o semiperímetro e o perímetro do triângulo.

Passo 1

Temos um triângulo a = BC, b = CA, c = AB de lados
x = PA, y = PB, z = PC
e um ponto a+b+c2;<=;x+y+z;<=;a+b+c, em seu interior. Definimos
O enunciado pede para mostrar que
ou seja, que fica entre o semiperímetro e o perímetro .

Passo 2

(Prova do limite inferior)
Em cada um dos três triângulos y + z > BC = a, , z + x > CA = b, e x + y > AB = c aplicamos a desigualdade triangular:
2(x+y+z) > a + b + c Longrightarrow x+y+z > a+b+c2,
Somando as três desigualdades obtém-se
que é exatamente .

Passo 3

(Prova do limite superior)
Como P = alpha A + beta B + gamma C está no interior de PB = |P - B| = |alpha(A-B)+gamma(C-B)| <= alpha,|A-B| + gamma,|C-B| = alpha,c + gamma,a, , existem coeficientes PA <= beta,c + gamma,b, PC <= alpha,a + beta,b com x+y+z <= (beta c + gamma b) +(alpha c + gamma a) +(alpha a + beta b) = a(alpha+gamma)+b(beta+gamma)+c(alpha+beta) tais que
x+y+z <= a(1-beta) + b(1-alpha) + c(1-gamma) = (a+b+c) - (beta a + alpha b + gamma c) < a+b+c,
Então, pela desigualdade triangular em cada distância, por exemplo

e analogamente

Somando essas três estimativas:
[
x+y+z \le
(\beta c + \gamma b)
+(\alpha c + \gamma a)
+(\alpha a + \beta b)

a(\alpha+\gamma)+b(\beta+\gamma)+c(\alpha+\beta).
]
Como , temos etc., de modo que
pois .

Resposta

a+b+c2 < x+y+z < a+b+c,
isto é, está estritamente entre o semiperímetro e o perímetro de .