8.1.20 Mostre que
|(n+i b)!|=\left(\frac{\pi b}{\operatorname{senh} \pi b}\right)^{1 / 2} \prod_{s=1}^{n}\left(s^{2}+b^{2}\right)^{1 / 2}
para n, um inteiro positivo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para inteiro positivo n e real b,
|(n+i b)!| \;=\;\Bigl(\frac{\pi b}{\operatorname{sinh}(\pi b)}\Bigr)^{1/2}\;\prod_{s=1}^{n}\sqrt{s^{2}+b^{2}}.
Aqui usamos a extensão do fatorial pela função Gama, ou seja (n+i b)! = \Gamma(n+i b+1). Precisaremos da relação de recorrência de \Gamma e da fórmula de reflexão para determinar o módulo de \Gamma(1+i b).

Passo 2

Pela relação de recorrência da função Gama temos, para inteiro n\ge1,
\Gamma(n+1+i b) =\;(n+i b)\,\Gamma(n+i b) =\;(n+i b)\,(n-1+i b)\,\Gamma(n-1+i b) =\cdots =\prod_{s=1}^{n}(s+i b)\;\Gamma(1+i b).
Logo
(n+i b)! =\Gamma(n+1+i b) =\prod_{s=1}^{n}(s+i b)\;\Gamma(1+i b).
Tomando módulo em ambos os lados e usando |s+i b|=\sqrt{s^{2}+b^{2}}, obtém-se
|(n+i b)!| =\prod_{s=1}^{n}\sqrt{s^{2}+b^{2}}\;\bigl|\Gamma(1+i b)\bigr|.

Passo 3

Para encontrar \bigl|\Gamma(1+i b)\bigr| usamos primeiro a fórmula de reflexão
\Gamma(z)\,\Gamma(1-z) =\frac{\pi}{\sin(\pi z)},
com z=i b. Assim
\Gamma(i b)\,\Gamma(1-i b) =\frac{\pi}{\sin(\pi i b)} =\frac{\pi}{i\,\operatorname{sinh}(\pi b)}.
Como \Gamma(1-i b)=\overline{\Gamma(1+i b)} e \Gamma(i b)=\overline{\Gamma(-i b)}, ao tomar módulo temos
\bigl|\Gamma(i b)\bigr|^{2} =\frac{\pi}{b\,\operatorname{sinh}(\pi b)}.
Finalmente, da relação de recorrência \Gamma(1+i b)=i b\,\Gamma(i b) vem
\bigl|\Gamma(1+i b)\bigr| =|i b|\;\bigl|\Gamma(i b)\bigr| =b\,\sqrt{\frac{\pi}{b\,\operatorname{sinh}(\pi b)}} =\sqrt{\frac{\pi b}{\operatorname{sinh}(\pi b)}}.

Passo 4

Substituindo \bigl|\Gamma(1+i b)\bigr| em
|(n+i b)!| =\prod_{s=1}^{n}\sqrt{s^{2}+b^{2}}\;\bigl|\Gamma(1+i b)\bigr|
obtemos exatamente
|(n+i b)!| =\Bigl(\frac{\pi b}{\operatorname{sinh}(\pi b)}\Bigr)^{1/2} \;\prod_{s=1}^{n}\sqrt{s^{2}+b^{2}},
que é o resultado pedido.

Resposta

|(n+i b)!| =\Bigl(\frac{\pi b}{\operatorname{sinh}(\pi b)}\Bigr)^{1/2} \;\prod_{s=1}^{n}\sqrt{s^{2}+b^{2}}.

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