8.1.21 Mostre que
|x !| >=|(x+i y) !|
para todo x. As variáveis x e y são reais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer |x!|>= |(x+i y)!| e reais, vale
O conteúdo aqui é a extensão do factorial a números reais e complexos via a função Gamma, usando sua representação integral de Euler e a desigualdade triangular para integrais de funções complexas.

Passo 2

Para x! = Gamma(x+1) = integral0^infty e^-t,t^x,dt, temos a representação de Euler:
(x+i y)! = Gamma(x+i y+1) = integral0^infty e^-t,t^x+i y,dt = integral0^infty e^-t,t^x,e^i yln t,dt
e

Passo 3

Aplicando a desigualdade triangular para integrais de funções complexas,
l|(x+i y)!r| =l|integral0^inftye^-tt^xe^i yln t,dtr| <= integral0^inftye^-tt^xl|e^i yln tr|,dt =integral0^inftye^-tt^x,dt = x!,
pois .

Resposta

|x!|>= |(x+i y)!|

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