8.1.21 Mostre que
|x !| \geq|(x+i y) !|
para todo x. As variáveis x e y são reais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer x e y reais, vale
|x!|\ge |(x+i y)!|.
O conteúdo aqui é a extensão do factorial a números reais e complexos via a função Gamma, usando sua representação integral de Euler e a desigualdade triangular para integrais de funções complexas.

Passo 2

Para x>-1 temos a representação de Euler:
x! = \Gamma(x+1) = \int_{0}^{\infty} e^{-t}\,t^{x}\,dt,
e
(x+i y)! = \Gamma(x+i y+1) = \int_{0}^{\infty} e^{-t}\,t^{x+i y}\,dt = \int_{0}^{\infty} e^{-t}\,t^{x}\,e^{i y\ln t}\,dt.

Passo 3

Aplicando a desigualdade triangular para integrais de funções complexas,
\bigl|(x+i y)!\bigr| =\Bigl|\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x}e^{i y\ln t}\,dt\Bigr| \le \int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x}\bigl|e^{i y\ln t}\bigr|\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x}\,dt = x!,
pois \bigl|e^{i y\ln t}\bigr|=1.

Resposta

|x!|\ge |(x+i y)!|.

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