Mostre que:
para todo inteiro
.
Resolução: Seja
. Então
, onde
(pois
e
). Logo (proposição 5, iii): [a] =
, o que implica
. Usando mais uma vez a parte iii da proposição citada, considerando que
:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
para todo inteiro
. Vamos usar a decomposição de
em parte inteira e parte fracionária e, em seguida, a propriedade de que, para
,
Passo 2
Defina
Por definição de parte inteira,
é inteiro e
logo
Passo 3
Ao dividir por
obtemos
e como
e
, temos
Passo 4
Pela propriedade do piso, para qualquer real
e
com
,
Aplicando com
e
, segue
Passo 5
Como
é inteiro,
Portanto concluímos