Mostre que:
[an]=[[a]n]
para todo inteiro n>0.
Resolução: Seja k=[an]-[an]. Então a=n[an]+k n, onde 0 <= k n<n (pois 0 <= k<1 e n>0 ). Logo (proposição 5, iii): [a] = n[an]+[k n], o que implica [a]n=[an]+[k n]n. Usando mais uma vez a parte iii da proposição citada, considerando que 0 <= [k n]n<1 :
[[a]n]=[an]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
lfloor an rfloor = lfloor lfloor arfloorn rfloor
para todo inteiro n>0. Vamos usar a decomposição de a em parte inteira e parte fracionária e, em seguida, a propriedade de que, para 0<= y<1,
lfloor x+yrfloor=lfloor xrfloor

Passo 2

Defina
m = lfloor arfloor, f = a - m
Por definição de parte inteira, m é inteiro e
0 <= f < 1,
logo
a = m + f

Passo 3

Ao dividir por n obtemos
an = mn + fn,
e como 0<= f<1 e n>0, temos
0 ;<=;fn;<;1

Passo 4

Pela propriedade do piso, para qualquer real x e y com 0<= y<1,
lfloor x+yrfloor = lfloor xrfloor
Aplicando com x=tfracmn e y=tfracfn, segue
lfloor an rfloor = lfloor mn + fn rfloor = lfloor mn rfloor

Passo 5

Como m=lfloor arfloor é inteiro,
lfloor mn rfloor = lfloor lfloor arfloorn rfloor
Portanto concluímos
lfloor an rfloor = lfloor lfloor arfloorn rfloor

Resposta

lfloor an rfloor = lfloor lfloor arfloorn rfloor

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