Seja , para todo par de elementos , , ,

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que qualquer automorfismo fcolon QtoQ (isto é, bijeção que preserva soma e produto) é a aplicação identidade. Vamos usar as propriedades
f(x+y)=f(x)+f(y), f(xy)=f(x),f(y)
para ver o que acontece em 1, em inteiros, em inversos de inteiros e, por fim, em frações.

Passo 2

Provar que f(1)=1.
Usando a conservação do produto,
f(1)=f(1cdot1)=f(1),f(1)Longrightarrow f(1)^2=f(1)
Logo f(1)=0 ou f(1)=1. Se f(1)=0, então para todo xinQ teríamos
f(x)=f(1cdot x)=f(1),f(x)=0,
contradizendo a bijetividade. Portanto f(1)=1.

Passo 3

Provar que f(-a)=-f(a) para todo a.
  1. Primeiro mostramos f(0)=0:
f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)Longrightarrow f(0)=0
  1. Agora definimos -1 via 0=1+(-1), aplicando f:
0=f(0)=f(1+(-1))=f(1)+f(-1)=1+f(-1),
logo f(-1)=-1.
3. Finalmente, para qualquer a,
f(-a)=f((-1),a)=f(-1),f(a)=-1cdot f(a)=-f(a)

Passo 4

Provar que f(m)=m para todo minZ.
Para m>=1, escrevemos m=1+1+cdots+1 ( m vezes). Como f preserva soma,
f(m)=f(underbrace1+cdots+1m)=underbracef(1)+cdots+f(1)m=1+1+cdots+1=m
Para m<= -1, escrevemos m=-n com n>0 e usamos
f(m)=f(-n)=-f(n)=-n=m. E claro f(0)=0.

Passo 5

Provar que fl(tfrac1nr)=tfrac1n para todo ninN^*.
Como ncdottfrac1n=1, aplicando f temos
f(n),fl(tfrac1nr)=fl(ncdottfrac1nr)=f(1)=1
Mas f(n)=n pelo passo anterior, então
n;fl(tfrac1nr)=1 Longrightarrow fl(tfrac1nr)=tfrac1n

Passo 6

Provar que fl(tfrac m nr)=tfrac m n para todo minZ, nneq0.
Escrevemos tfrac m n = mcdot1n. Então
fl(tfrac m nr) =f(m),fl(tfrac1nr) =mcdottfrac1n =tfrac m n
Isso mostra que f age como identidade em qualquer racional.

Resposta

A única possibilidade é
f(x)=x forall xinQ,
isto é, o automorfismo identidade.

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