O enunciado pede para mostrar que qualquer automorfismo (isto é, bijeção que preserva soma e produto) é a aplicação identidade. Vamos usar as propriedades
para ver o que acontece em , em inteiros, em inversos de inteiros e, por fim, em frações.
Passo 2
Provar que .
Usando a conservação do produto,
Logo ou . Se , então para todo teríamos
contradizendo a bijetividade. Portanto .
Passo 3
Provar que para todo .
Primeiro mostramos :
Agora definimos via , aplicando :
logo .
3. Finalmente, para qualquer ,
Passo 4
Provar que para todo .
Para , escrevemos ( vezes). Como preserva soma,
Para m<= -1, escrevemos m=-n com n>0 e usamos f(m)=f(-n)=-f(n)=-n=m. E claro f(0)=0.
Passo 5
Provar que fl(tfrac1nr)=tfrac1n para todo ninN^*.
Como ncdottfrac1n=1, aplicando f temos