Se , mostre que

para quaisquer ã

Passo 1

O enunciado diz que temos duas frações iguais:
mn = rs,
e pede para mostrar que, para quaisquer inteiros não nulos u,v,
mn ;=;rs;=;m,u + r,vn,u + s,v
O conteúdo usado aqui é manipulação de frações e a propriedade de frações equivalentes (ou seja, se tfracab=tfraccd então ad=bc).

Passo 2

Da igualdade inicial
mn = rs
seguimos por multiplicar em cruz:
m,s = n,r

Passo 3

Queremos reescrever r,v em função de m,n. Da relação m,s = n,r obtemos
r = m,sn Longrightarrow r,v = m,sn,v = m,(s,v)n
Portanto o numerador pedido fica
m,u + r,v = m,u + m,(s,v)n = m,u,n + m,s,vn = m,(u,n + s,v)n

Passo 4

O denominador pedido é simplesmente
n,u + s,v
Logo a fração proposta é
m,u + r,vn,u + s,v = m,(u,n + s,v)nn,u + s,v = m,(u,n + s,v)n,(n,u + s,v)
Cancelando o fator comum (u,n + s,v) em numerador e denominador, obtemos
m,u + r,vn,u + s,v = mn

Resposta

mn ;=;rs;=;m,u + r,vn,u + s,v

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