8.1.22 Mostre que
\left|\Gamma\left(\frac{1}{2}+i y\right)\right|^{2}=\frac{\pi}{\operatorname{cosh} \pi y}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\left|\Gamma\!\Bigl(\tfrac12 + i y\Bigr)\right|^{2} \;=\;\frac{\pi}{\operatorname{cosh}(\pi y)}.
O conteúdo principal envolve a fórmula de reflexão da função Gama e a relação entre \Gamma(z) e o seu conjugado para obter o módulo quadrado.

Passo 2

Usamos a fórmula de reflexão de Euler para a função Gama, válida sempre que z\not\in\mathbb{Z}:
\Gamma(z)\,\Gamma(1-z) \;=\;\frac{\pi}{\sin(\pi z)}.
Escolhendo z = \tfrac12 + i y, temos 1-z = \tfrac12 - i y. Logo,
\Gamma\!\Bigl(\tfrac12 + i y\Bigr)\,\Gamma\!\Bigl(\tfrac12 - i y\Bigr) =\frac{\pi}{\sin\!\bigl(\pi(\tfrac12 + i y)\bigr)}.

Passo 3

Para simplificar o denominador, usamos a identidade de funções hiperbólicas e trigonométricas:
\sin(a + ib) = \sin a\,\operatorname{cosh} b \;+\; i\,\cos a\,\operatorname{sinh} b.
Com a = \tfrac{\pi}{2} e b = \pi y, isso dá
\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2} + i\,\pi y\Bigr) = \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)\operatorname{cosh}(\pi y) + i\,\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)\operatorname{sinh}(\pi y) = \operatorname{cosh}(\pi y).

Passo 4

Substituindo esse resultado na fórmula de reflexão, obtemos
\Gamma\!\Bigl(\tfrac12 + i y\Bigr)\,\Gamma\!\Bigl(\tfrac12 - i y\Bigr) = \frac{\pi}{\operatorname{cosh}(\pi y)}.
Mas como \Gamma(\tfrac12 - i y)=\overline{\Gamma(\tfrac12 + i y)}, o produto no lado esquerdo é
\Gamma\!\Bigl(\tfrac12 + i y\Bigr)\,\overline{\Gamma\!\bigl(\tfrac12 + i y\bigr)} = \bigl|\Gamma\!\bigl(\tfrac12 + i y\bigr)\bigr|^{2}.

Resposta

\left|\Gamma\!\Bigl(\tfrac12 + i y\Bigr)\right|^{2} = \frac{\pi}{\operatorname{cosh}(\pi y)}.

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