8.1.26 Derive a representação de integral de contorno da Equação (8.34),
2 i nu!sen nu pi=integralC e^-z(-z)^nu d z

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para Re(nu)>-1, a integral de contorno
integralCe^-z(-z)^nu,dz
valeu 2,i,nu!sin(nupi).
O conteúdo principal é a definição de Gamma-função
Gamma(nu+1)=integral0^inftye^-xx^nu,dx
e a escolha adequada do ramo de log(-z) para gerar um corte no eixo real positivo.

Passo 2

Escolhemos o ramo de tal que o corte de fique sobre o eixo real positivo e
Assim, ao aproximar da reta positiva sob e sobre o corte, tem-se

Passo 3

Definimos C como o caminho que vai de 0 a +infty logo acima do corte e depois retorna de +infty a 0 logo abaixo. Para Re(nu)>-1, a volta em torno da origem não contribui quando seu raio tende a zero.

Passo 4

Partindo da integral em C, quebramos em dois trechos:
integralCe^-z(-z)^nudz =integral0^inftye^-x,x^nue^,ipinu,dx ;-; integral0^inftye^-x,x^nue^-,ipinu,dx

Passo 5

Cada uma dessas integrais é a definição da Gamma-função:
integral0^inftye^-xx^nu,dx=Gamma(nu+1)=nu!
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integralCe^-z(-z)^nudz =l(e^,ipinu-e^-,ipinur),Gamma(nu+1) =2,i,sin(nupi),Gamma(nu+1)

Resposta

integralCe^-z(-z)^nudz =2,i,nu!,sin(nupi)

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