8.1.26 Derive a representação de integral de contorno da Equação (8.34),
2 i \nu!\operatorname{sen} \nu \pi=\int_{C} e^{-z}(-z)^{\nu} d z

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para \Re(\nu)>-1, a integral de contorno
\int_{C}e^{-z}(-z)^{\nu}\,dz
valeu 2\,i\,\nu!\sin(\nu\pi).
O conteúdo principal é a definição de \Gamma-função
\Gamma(\nu+1)=\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{\nu}\,dx
e a escolha adequada do ramo de \log(-z) para gerar um corte no eixo real positivo.

Passo 2

Escolhemos o ramo de \log(-z) tal que o corte de (-z)^{\nu}=\exp\bigl(\nu\log(-z)\bigr) fique sobre o eixo real positivo e
\Arg(-x\pm i0)=\pm\pi\quad(x>0).
Assim, ao aproximar z da reta positiva sob e sobre o corte, tem-se
(-x+i0)^{\nu}=x^{\nu}e^{\,i\pi\nu}, \qquad (-x-i0)^{\nu}=x^{\nu}e^{-\,i\pi\nu}.

Passo 3

Definimos C como o caminho que vai de 0 a +\infty logo acima do corte e depois retorna de +\infty a 0 logo abaixo. Para \Re(\nu)>-1, a volta em torno da origem não contribui quando seu raio tende a zero.

Passo 4

Partindo da integral em C, quebramos em dois trechos:
\int_{C}e^{-z}(-z)^{\nu}dz =\int_{0}^{\infty}e^{-x}\,x^{\nu}e^{\,i\pi\nu}\,dx \;-\; \int_{0}^{\infty}e^{-x}\,x^{\nu}e^{-\,i\pi\nu}\,dx.

Passo 5

Cada uma dessas integrais é a definição da \Gamma-função:
\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{\nu}\,dx=\Gamma(\nu+1)=\nu!.
Logo
\int_{C}e^{-z}(-z)^{\nu}dz =\bigl(e^{\,i\pi\nu}-e^{-\,i\pi\nu}\bigr)\,\Gamma(\nu+1) =2\,i\,\sin(\nu\pi)\,\Gamma(\nu+1).

Resposta

\int_{C}e^{-z}(-z)^{\nu}dz =2\,i\,\nu!\,\sin(\nu\pi).

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