2.4.17 Um próton de massa m, carga +e e momento (assintótico) p=m v incide sobre um núcleo de carga +Z e a um parâmetro de impacto b. Determine a distância de maior aproximação do próton.

Passo 1

O enunciado descreve um próton de massa m, carga +e e momento assintótico p=m,v que se aproxima de um núcleo fixo de carga +Z,e com parâmetro de impacto b. Queremos encontrar a distância de maior aproximação rmin. O conteúdo é espalhamento de Rutherford em potencial de Coulomb repulsivo, e vamos usar conservação de energia e de momento angular.

Passo 2

Em todo instante a energia total E e o momento angular L são conservados. Na região externa ao potencial Coulombiano temos
E = tfrac12,m,v^2, L = m,v,b

Passo 3

Na distância de maior aproximação r=rmin toda a energia cinética radial se anula, restando apenas energia efetiva:
E = Urm eff(rmin)
com
Urm eff(r) = L^22m,r^2 ;+;alphar, alpha = Z,e^24pivarepsilon0
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tfrac12,m,v^2 = (m,v,b)^22m,rmin^2 ;+;alpharmin = tfrac12,m,v^2,b^2rmin^2 ;+;alpharmin

Passo 4

Multiplicando por 2/(m,v^2) e reorganizando, obtemos a equação quadrática em rmin:
rmin^2 ;-;2,alpham,v^2,rmin;-;b^2 = 0
A solução física (raiz positiva) é
rmin = tfrac2alpham,v^2 + raizl(tfrac2alpham,v^2r)^2 + 4,b^22 = alpham,v^2 + raizl(alpham,v^2r)^2 + b^2

Resposta

rmin = Z,e^24pivarepsilon0,m,v^2 ;+;raizl(Z,e^24pivarepsilon0,m,v^2r)^2 + b^2

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