2.4.17 Um próton de massa m, carga +e e momento (assintótico) p=m v incide sobre um núcleo de carga +Z e a um parâmetro de impacto b. Determine a distância de maior aproximação do próton.

Passo 1

O enunciado descreve um próton de massa m, carga +e e momento assintótico p=m\,v que se aproxima de um núcleo fixo de carga +Z\,e com parâmetro de impacto b. Queremos encontrar a distância de maior aproximação r_{\min}. O conteúdo é espalhamento de Rutherford em potencial de Coulomb repulsivo, e vamos usar conservação de energia e de momento angular.

Passo 2

Em todo instante a energia total E e o momento angular L são conservados. Na região externa ao potencial Coulombiano temos
E = \tfrac12\,m\,v^2, \quad L = m\,v\,b.

Passo 3

Na distância de maior aproximação r=r_{\min} toda a energia cinética radial se anula, restando apenas energia efetiva:
E = U_{\rm eff}(r_{\min})
com
U_{\rm eff}(r) = \frac{L^2}{2m\,r^2} \;+\;\frac{\alpha}{r}, \quad \alpha = \frac{Z\,e^2}{4\pi\varepsilon_0}.
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\tfrac12\,m\,v^2 = \frac{(m\,v\,b)^2}{2m\,r_{\min}^2} \;+\;\frac{\alpha}{r_{\min}} = \frac{\tfrac12\,m\,v^2\,b^2}{r_{\min}^2} \;+\;\frac{\alpha}{r_{\min}}.

Passo 4

Multiplicando por 2/(m\,v^2) e reorganizando, obtemos a equação quadrática em r_{\min}:
r_{\min}^2 \;-\;\frac{2\,\alpha}{m\,v^2}\,r_{\min}\;-\;b^2 = 0.
A solução física (raiz positiva) é
r_{\min} = \frac{\tfrac{2\alpha}{m\,v^2} + \sqrt{\bigl(\tfrac{2\alpha}{m\,v^2}\bigr)^2 + 4\,b^2}}{2} = \frac{\alpha}{m\,v^2} + \sqrt{\Bigl(\frac{\alpha}{m\,v^2}\Bigr)^2 + b^2}.

Resposta

r_{\min} = \frac{Z\,e^2}{4\pi\varepsilon_0\,m\,v^2} \;+\;\sqrt{\Bigl(\frac{Z\,e^2}{4\pi\varepsilon_0\,m\,v^2}\Bigr)^2 + b^2}.

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