15.10.19 Mostre que
L^-1s^2(s^2+a^2)^-2=12 a sen a t+12 t cos a t,

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
s^2l(s^2+a^2r)^2
ou seja, encontrar f(t)=L^-1s^2(s^2+a^2)^-2.
Para isso vamos usar propriedades básicas da transformação de Laplace, em especial a linearidade e as fórmulas conhecidas
Ltcos a t e Lsin a t.

Passo 2

Fazemos uma manipulação algébrica no numerador para separar em termos que reconhecemos em tabelas de Laplace:
s^2(s^2+a^2)^2 = 12,s^2-a^2(s^2+a^2)^2 ;+;12,s^2+a^2(s^2+a^2)^2 = 12,s^2-a^2(s^2+a^2)^2 ;+;12,1s^2+a^2

Passo 3

Reconhecemos agora as transformadas padrão:
L,tcos a t =s^2-a^2(s^2+a^2)^2, Lsin a t =as^2+a^2

Passo 4

Aplicando a linearidade da inversa, da expressão do Passo 2 temos
f(t) =12,L^-1ls^2-a^2(s^2+a^2)^2r +12,L^-1l1s^2+a^2r
Pelo Passo 3 isso vira
f(t) =12,tcos a t +12,1a,sin a t =12,tcos a t +12a,sin a t

Resposta

L^-1ls^2(s^2+a^2)^-2r =12a,sin a t +12,tcos a t

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