15.10.11 Desenvolva uma solução de transformada de Laplace da equação de Laguerre
Note que você precisa de uma derivada de uma transformada e de uma transformada de derivadas. Vá até onde puder com
; então (e só então) faça
.
Passo 1
O enunciado pede para aplicar a transformada de Laplace à equação de Laguerre
de modo a obter uma equação para
. Para isso vamos usar as fórmulas
Passo 2
Calculemos termo a termo a transformada de Laplace da equação original:
-
-
Aqui
e
-
Passo 3
Somando tudo e igualando a zero:
Agrupando termos em
e
(os termos em
cancelam), chega-se a
Passo 4
Reescrevendo como equação de primeira ordem em
:
O fator integrante é
Logo a solução geral é
onde
é constante de integração.
Passo 5
Para determinar
, note que para
,
e sabemos que
. Logo
. Assim
Passo 6
Agora faça
. Temos
Invertendo a transformada,
ou seja, a solução para
é a função constante.
Resposta
Para general
:
Para
: