15.10.11 Desenvolva uma solução de transformada de Laplace da equação de Laguerre
t F^prime prime(t)+(1-t) F^prime(t)+n F(t)=0
Note que você precisa de uma derivada de uma transformada e de uma transformada de derivadas. Vá até onde puder com n; então (e só então) faça n=0.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar a transformada de Laplace à equação de Laguerre
t,F''(t)+(1-t),F'(t)+n,F(t)=0
de modo a obter uma equação para
f(s)=LF(t)(s)
. Para isso vamos usar as fórmulas
LF'(t)=s,f(s)-F(0), LF''(t)=s^2f(s)-s,F(0)-F'(0),
Lt,g(t)=-ddsl[Lg(t)r]

Passo 2

Calculemos termo a termo a transformada de Laplace da equação original:
  1. Lt,F''(t) =-ddsl[s^2f(s)-sF(0)-F'(0)r] =- l(2s,f(s)+s^2f'(s)-F(0)r)
  2. L(1-t)F'(t) =LF'(t)-Lt,F'(t)
    Aqui
    LF'(t)=s,f(s)-F(0)
    e
    Lt,F'(t) =-dds[s,f(s)-F(0)] =- l(f(s)+s,f'(s)r)
  3. Ln,F(t)=n,f(s)

Passo 3

Somando tudo e igualando a zero:
-l(2s,f(s)+s^2f'(s)-F(0)r) +l[(s,f(s)-F(0))-l(-f(s)-s,f'(s)r)r] +n,f(s) =0
Agrupando termos em f(s) e f'(s) (os termos em F(0) cancelam), chega-se a
-s(s+1),f'(s)+(n-s-1),f(s)=0

Passo 4

Reescrevendo como equação de primeira ordem em f(s):
s(s+1),f'(s)+(s+1-n),f(s)=0 Longrightarrow f'(s)+l(1-ns+ns+1r)f(s)=0
O fator integrante é
exp!l(!integrall(1-ns+ns+1r)dsr) =s^,1-n(s+1)^n
Logo a solução geral é
f(s)=Ks^,1-n(s+1)^n =K,s^,n-1(s+1)^n,
onde K é constante de integração.

Passo 5

Para determinar K, note que para stoinfty,
f(s)sim Ks,
e sabemos que LF(s)sim F(0)/s. Logo K=F(0). Assim
boxedf(s)=LF(t)(s) =F(0),s^,n-1(s+1)^n,

Passo 6

Agora faça n=0. Temos
f(s)=F(0),s^-1(s+1)^0 =F(0)s
Invertendo a transformada,
F(t)=F(0),
ou seja, a solução para n=0 é a função constante.

Resposta

Para general n:
LF(t)(s) =F(0),s^,n-1(s+1)^n
Para n=0:
LF(t)(s)=F(0)s Longrightarrow F(t)=F(0)

Exercícios de Livros Relacionados