Mostre que
, conforme a seja inteiro ou nāo.
Sugestäo: Se
, então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo número real é inteiro},\ -1, &se
não é inteiro. \end{cases}]
O conteúdo principal é a definição de parte inteira (piso) e parte fracionária de
.
Passo 2
Definimos a parte fracionária de
por
de modo que
Logo
Se
, então
.
Se , podemos escrever
Se
onde
satisfaz
.
Passo 3
Caso
(ou seja,
é inteiro):
Portanto
Passo 4
Caso
(ou seja,
não é inteiro):
da decomposição
da decomposição
vemos que a parte fracionária de
é
. Logo
Assim
Passo 5
Reunindo os dois casos, concluímos que
Resposta
Se
, então
.
Se , então
.
Se