Mostre que [a]+[-a]=0 ou-1, conforme a seja inteiro ou nāo.
Sugestäo: Se a-[a]=a1, então 0 <= a1<1 e-a=-[a]-1+(1-a1).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo número real é inteiro},\ -1, &se não é inteiro. \end{cases}]
O conteúdo principal é a definição de parte inteira (piso) e parte fracionária de .

Passo 2

Definimos a parte fracionária de a por
a1 = a - [a],
de modo que
0 <= a1 < 1
Logo
-a = -[a] - a1
Se a1=0, então -a=-[a].
Se 0 < a1 < 1, podemos escrever
-a = -[a] - 1 + l(1 - a1r),
onde 1 - a1 satisfaz 0 < 1 - a1 < 1.

Passo 3

Caso a1 = 0 (ou seja, a é inteiro):
-a = -[a]Longrightarrow [-a] = -[a]
Portanto
[a] + [-a] = [a] + l(-[a]r) = 0

Passo 4

Caso 0 < a1 < 1 (ou seja, a não é inteiro):
da decomposição
-a = -[a] -1 + (1 - a1),
vemos que a parte fracionária de -a é 1 - a1in(0,1). Logo
[-a] = -[a] - 1
Assim
[a] + [-a] = [a] + l(-[a] - 1r) = -1

Passo 5

Reunindo os dois casos, concluímos que
[a] + [-a] = 0, &se (a) é inteiro, -1, &se (a) não é inteiro éãé

Resposta

Se ainZ, então [a]+[-a]=0.
Se anotinZ, então [a]+[-a]=-1.

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