Mostre que:
Se m>0 e a=m, 999 ldots, entāo a=m+1

Passo 1

O enunciado afirma que temos um número real m>0 e que
a = m,999ldots,
isto é, a parte decimal de a é formada por infinitos dígitos 9. O objetivo é mostrar que a = m+1. Para isso, vamos separar a parte inteira e a decimal de a e usar uma manipulação algébrica clássica para avaliar a sequência decimal 0,999ldots.

Passo 2

Escrevemos
a = m + d,
onde
d = 0,999ldots
Nosso foco agora é calcular d.

Passo 3

Defina
x = d = 0,999ldots
Então multiplique ambos os lados por 10:
10x = 9,999ldots
Agora subtraia a equação original x=0,999ldots desta:
10x - x = 9,999ldots - 0,999ldots Longrightarrow 9x = 9
Logo
x = 99 = 1
Portanto
d = 0,999ldots = 1

Passo 4

Voltando a a = m + d, temos
a = m + 1

Resposta

a = m + 1

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