3.3.7 Mostre que a matriz de rotação do ângulo de Euler \mathrm{A}(\alpha, \beta, \gamma) satisfaz as seguintes relações:
(a) \mathrm{A}^{-1}(\alpha, \beta, \gamma)=\tilde{\mathrm{A}}(\alpha, \beta, \gamma)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz de rotação de Euler
\mathrm A(\alpha,\beta,\gamma), definida como
\mathrm A(\alpha,\beta,\gamma)=R_{z}(\alpha)\,R_{y}(\beta)\,R_{z}(\gamma),
é ortogonal e que sua inversa coincide com a matriz
\tilde{\mathrm A}(\alpha,\beta,\gamma).
Para isso vamos usar que toda rotação é matriz ortogonal (ou seja \mathrm A^{-1}=\mathrm A^{T}) e as propriedades de transposta de produto.

Passo 2

Recordando que a transposta de um produto inverte a ordem dos fatores, temos
\bigl(M_{1}M_{2}\bigr)^{T}=M_{2}^{T}M_{1}^{T}.
Além disso, cada rotação elementar satisfaz
R_{k}(\theta)^{T}=R_{k}(-\theta)\quad(k=x,y\text{ ou }z),
pois rotação é ortogonal.

Passo 3

Aplicando isso à nossa \mathrm A, obtemos
\mathrm A(\alpha,\beta,\gamma)^{T} =\bigl(R_{z}(\alpha)\,R_{y}(\beta)\,R_{z}(\gamma)\bigr)^{T} =R_{z}(\gamma)^{T}\,R_{y}(\beta)^{T}\,R_{z}(\alpha)^{T}.

Passo 4

Usando R_{z}(\varphi)^{T}=R_{z}(-\varphi) e análogos para R_{y}, isto vira
\mathrm A(\alpha,\beta,\gamma)^{T} =R_{z}(-\gamma)\,R_{y}(-\beta)\,R_{z}(-\alpha).
Por definição esta última é exatamente \tilde{\mathrm A}(\alpha,\beta,\gamma).

Passo 5

Como rotação é ortogonal, \mathrm A^{-1}=\mathrm A^{T}. Juntando com o passo anterior segue
\mathrm A^{-1}(\alpha,\beta,\gamma) =\mathrm A(\alpha,\beta,\gamma)^{T} =\tilde{\mathrm A}(\alpha,\beta,\gamma).

Resposta

\mathrm A^{-1}(\alpha,\beta,\gamma)=\tilde{\mathrm A}(\alpha,\beta,\gamma).

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