3.3.7 Mostre que a matriz de rotação do ângulo de Euler
satisfaz as seguintes relações:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a matriz de rotação de Euler
, definida como
é ortogonal e que sua inversa coincide com a matriz
.
Para isso vamos usar que toda rotação é matriz ortogonal (ou seja ) e as propriedades de transposta de produto.
Para isso vamos usar que toda rotação é matriz ortogonal (ou seja
Passo 2
Recordando que a transposta de um produto inverte a ordem dos fatores, temos
Além disso, cada rotação elementar satisfaz
pois rotação é ortogonal.
Passo 3
Aplicando isso à nossa
, obtemos
Passo 4
Usando
e análogos para
, isto vira
Por definição esta última é exatamente
.
Passo 5
Como rotação é ortogonal,
. Juntando com o passo anterior segue