Para
(-1<p<1), prove que
Essas séries ocorrem na teoria do interferômetro de Fabry-Perot.
sumn=0^infty p^n sen n x=p sen x1-2 p cos x+p^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, para -1<p<1, que
sumn=0^inftyp^n,sin(nx) =p,sin x1-2pcos x+p^2
O conteúdo necessário é a soma da série geométrica infinita e a Fórmula de Euler
;e^itheta=costheta+isintheta, pois isso nos permite lidar com sin(nx) como parte imaginária de e^inx.

Passo 2

Considere a série complexa
Sc=sumn=0^inftyp^n,e^i n x
Pela Fórmula de Euler, e^inx=cos(nx)+isin(nx), então
Im(Sc)=sumn=0^inftyp^n,sin(nx),
ou seja, a parte imaginária de Sc é exatamente a série que queremos.

Passo 3

Como |p|<1, temos a soma da série geométrica
Sc=sumn=0^inftyl(p,e^i xr)^n =11-p,e^i x

Passo 4

Para extrair a parte imaginária, escrevemos
11-p,e^i x =1-p,e^-i xl(1-p,e^i xr)l(1-p,e^-i xr) =1-p,e^-i x1-2pcos x+p^2

Passo 5

No numerador,
1-p,e^-i x =1-p(cos x - isin x) =1-pcos x+i,psin x,
portanto a parte imaginária é psin x. Logo
Im(Sc) =p,sin x1-2pcos x+p^2,
que coincide com
sumn=0^inftyp^nsin(nx).

Resposta

boxedsumn=0^inftyp^n,sin(nx) =p,sin x1-2pcos x+p^2,

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