Para
(-1<p<1), prove que
Essas séries ocorrem na teoria do interferômetro de Fabry-Perot.
\sum_{n=0}^{\infty} p^{n} \operatorname{sen} n x=\frac{p \operatorname{sen} x}{1-2 p \cos x+p^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, para -1<p<1, que
\sum_{n=0}^{\infty}p^{n}\,\sin(nx) =\frac{p\,\sin x}{1-2p\cos x+p^{2}}.
O conteúdo necessário é a soma da série geométrica infinita e a Fórmula de Euler
\;e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta, pois isso nos permite lidar com \sin(nx) como parte imaginária de e^{inx}.

Passo 2

Considere a série complexa
S_c=\sum_{n=0}^{\infty}p^{n}\,e^{i n x}.
Pela Fórmula de Euler, e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx), então
\Im(S_c)=\sum_{n=0}^{\infty}p^{n}\,\sin(nx),
ou seja, a parte imaginária de S_c é exatamente a série que queremos.

Passo 3

Como |p|<1, temos a soma da série geométrica
S_c=\sum_{n=0}^{\infty}\bigl(p\,e^{i x}\bigr)^{n} =\frac{1}{1-p\,e^{i x}}.

Passo 4

Para extrair a parte imaginária, escrevemos
\frac{1}{1-p\,e^{i x}} =\frac{1-p\,e^{-i x}}{\bigl(1-p\,e^{i x}\bigr)\bigl(1-p\,e^{-i x}\bigr)} =\frac{1-p\,e^{-i x}}{1-2p\cos x+p^{2}}.

Passo 5

No numerador,
1-p\,e^{-i x} =1-p(\cos x - i\sin x) =1-p\cos x+i\,p\sin x,
portanto a parte imaginária é p\sin x. Logo
\Im(S_c) =\frac{p\,\sin x}{1-2p\cos x+p^{2}},
que coincide com
\sum_{n=0}^{\infty}p^{n}\sin(nx).

Resposta

\boxed{\sum_{n=0}^{\infty}p^{n}\,\sin(nx) =\frac{p\,\sin x}{1-2p\cos x+p^{2}}\,.}

Exercícios de Livros Relacionados