Mostre que
Sugestão: 1. Expresse as funções trigonométrica e hiperbólica em termos de exponenciais.
2. Resolva para a exponencial e então para o expoente.
cos ^-1 z=-i ln (z pm raizz^2-1),

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
cos^-1z=-ilnl(zpmraizz^2-1r).
O conteúdo é a extensão da função arco-cosseno ao plano complexo e vamos usar a definição de cos w em termos de exponenciais.

Passo 2

Se definirmos w=cos^-1z, então
cos w = z
Usamos a expressão
cos w = e^iw+e^-iw2
para reescrever essa igualdade em termos de exponenciais.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 2 e definindo t=e^iw, obtemos
t + 1t = 2z
que leva à equação quadrática
t^2 - 2z,t + 1 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática para t, vem
t = z pm raizz^2-1

Passo 5

Como t=e^iw, basta tomar o logaritmo:
i,w = lnl(z pm raizz^2-1r) Longrightarrow w = -,i,lnl(z pm raizz^2-1r)

Resposta

cos^-1z = -,i,lnl(z pm raizz^2-1r)

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