Mostre que
Sugestão: 1. Expresse as funções trigonométrica e hiperbólica em termos de exponenciais.
2. Resolva para a exponencial e então para o expoente.
\cos ^{-1} z=-i \ln \left(z \pm \sqrt{z^{2}-1}\right),

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\cos^{-1}z=-i\ln\bigl(z\pm\sqrt{z^{2}-1}\bigr).
O conteúdo é a extensão da função arco-cosseno ao plano complexo e vamos usar a definição de \cos w em termos de exponenciais.

Passo 2

Se definirmos w=\cos^{-1}z, então
\cos w = z.
Usamos a expressão
\cos w = \frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}
para reescrever essa igualdade em termos de exponenciais.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 2 e definindo t=e^{iw}, obtemos
t + \frac{1}{t} = 2z
que leva à equação quadrática
t^{2} - 2z\,t + 1 = 0.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática para t, vem
t = z \pm \sqrt{z^{2}-1}.

Passo 5

Como t=e^{iw}, basta tomar o logaritmo:
i\,w = \ln\bigl(z \pm \sqrt{z^{2}-1}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad w = -\,i\,\ln\bigl(z \pm \sqrt{z^{2}-1}\bigr).

Resposta

\displaystyle \cos^{-1}z = -\,i\,\ln\bigl(z \pm \sqrt{z^{2}-1}\bigr)

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