6.1.17 Na teoria quântica da fotoionização, encontramos a identidade
\left(\frac{i a-1}{i a+1}\right)^{i b}=\exp \left(-2 b \cot ^{-1} a\right)
na qual a e b são reais. Verifique essa identidade.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a,b\in\mathbb{R}, vale
\Bigl(\frac{i a - 1}{i a + 1}\Bigr)^{i b} \;=\;\exp\bigl(-2\,b\,\cot^{-1}a\bigr).
Para isso, vamos escrever
z = \frac{i a - 1}{i a + 1}
na forma exponencial z=e^{i\varphi} usando módulo e argumento, e depois elevar z a i b.

Passo 2

Calculemos o módulo de
z = \frac{i a - 1}{i a + 1}.
Como \bigl|i a - 1\bigr| = \sqrt{a^2 + 1} e \bigl|i a + 1\bigr| = \sqrt{a^2 + 1}, segue
|z| = \frac{\sqrt{a^2 + 1}}{\sqrt{a^2 + 1}} = 1.
Logo z pode ser escrito como e^{i\varphi} para algum ângulo real \varphi.

Passo 3

Vamos achar o argumento \varphi = \Arg(i a - 1) - \Arg(i a + 1).
  • Para i a - 1, a parte real é -1 e a imaginária é a, então \Arg(i a - 1) = \pi - \arctan(a).
  • Para i a + 1, a parte real é 1 e a imaginária é a, então \Arg(i a + 1) = \arctan(a).
Subtraindo,
\varphi = \bigl(\pi - \arctan(a)\bigr) - \arctan(a) = \pi - 2\,\arctan(a).
Como \cot^{-1}a = \tfrac{\pi}{2} - \arctan(a), temos
\varphi = 2\,\Bigl(\tfrac{\pi}{2} - \arctan(a)\Bigr) = 2\,\cot^{-1}(a).
Portanto
z = e^{\,i\,2\,\cot^{-1}(a)}.

Passo 4

Agora elevamos z à potência i b:
z^{\,i b} = \bigl(e^{\,i\,2\,\cot^{-1}(a)}\bigr)^{i b} = \exp\bigl(i b\cdot\ln\bigl(e^{\,i\,2\,\cot^{-1}(a)}\bigr)\bigr).
No ramo principal do logaritmo complexo vale \ln(e^{i\theta}) = i\theta. Logo
z^{\,i b} = \exp\bigl(i b\cdot(i\,2\,\cot^{-1}(a))\bigr) = \exp\bigl(-2\,b\,\cot^{-1}(a)\bigr).

Resposta

\Bigl(\frac{i a - 1}{i a + 1}\Bigr)^{i b} = \exp\bigl(-2\,b\,\cot^{-1}(a)\bigr).

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