6.1.17 Na teoria quântica da fotoionização, encontramos a identidade
(i a-1i a+1)^i b=exp (-2 b cot ^-1 a)
na qual a e b são reais. Verifique essa identidade.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a,binR, vale
l(i a - 1i a + 1r)^i b ;=;expl(-2,b,cot^-1ar)
Para isso, vamos escrever
z = i a - 1i a + 1
na forma exponencial z=e^iphi usando módulo e argumento, e depois elevar z a i b.

Passo 2

Calculemos o módulo de
z = i a - 1i a + 1
Como l|i a - 1r| = raiza^2 + 1 e l|i a + 1r| = raiza^2 + 1, segue
|z| = raiza^2 + 1raiza^2 + 1 = 1
Logo z pode ser escrito como e^iphi para algum ângulo real phi.

Passo 3

Vamos achar o argumento .
  • Para , a parte real é e a imaginária é , então
  • Para , a parte real é e a imaginária é , então
Subtraindo,
Como , temos
Portanto

Passo 4

Agora elevamos z à potência i b:
z^,i b = l(e^,i,2,cot^-1(a)r)^i b = expl(i bcdotlnl(e^,i,2,cot^-1(a)r)r)
No ramo principal do logaritmo complexo vale ln(e^itheta) = itheta. Logo
z^,i b = expl(i bcdot(i,2,cot^-1(a))r) = expl(-2,b,cot^-1(a)r)

Resposta

l(i a - 1i a + 1r)^i b = expl(-2,b,cot^-1(a)r)

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