Demonstre que se
e
, então
.
Resolução: Devido à proposição 7, existem
para os quais
. Daí:
. Como
, por hipótese,
, então
.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que, se
e
, então necessariamente
.
O conteúdo que vamos usar é a identidade de Bézout (que garante combinação linear para o máximo divisor comum) e propriedades básicas de divisibilidade.
O conteúdo que vamos usar é a identidade de Bézout (que garante combinação linear para o máximo divisor comum) e propriedades básicas de divisibilidade.
Passo 2
Como
, pela identidade de Bézout existem inteiros
tais que
Passo 3
Multiplicamos essa identidade por
, obtendo
Passo 4
Pela hipótese temos
, e é trivial que
. Logo
divide cada termo do lado direito da expressão acima. E, como a divisibilidade é preservada em soma de múltiplos, concluímos que
Resposta
Ficou demonstrado que
, como queríamos.