Demonstre que se a mid b c e mdc(a, b)=d, então a mid c d.
Resolução: Devido à proposição 7, existem x0, y0 in Z para os quais d=ax0+by. Daí: cd=(ac) x0+(bc) y0. Como a mid(ac) e, por hipótese, a mid(b c), então a mid c d.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que, se a mid b c e gcd(a,b)=d, então necessariamente a mid c d.
O conteúdo que vamos usar é a identidade de Bézout (que garante combinação linear para o máximo divisor comum) e propriedades básicas de divisibilidade.

Passo 2

Como gcd(a,b)=d, pela identidade de Bézout existem inteiros x0,y0inZ tais que
d = a x0 + b y0

Passo 3

Multiplicamos essa identidade por c, obtendo
c d = (a x0) c + (b y0) c Longrightarrow c d = a (c x0) + b (c y0)

Passo 4

Pela hipótese temos a mid b c, e é trivial que a mid a (c x0). Logo a divide cada termo do lado direito da expressão acima. E, como a divisibilidade é preservada em soma de múltiplos, concluímos que
a mid l(a (c x0)r) e a mid l(b (c y0)r) ;Longrightarrow; a mid l(a (c x0) + b (c y0)r) ;Longrightarrow; a mid c d

Resposta

Ficou demonstrado que ,amid c,d, como queríamos.

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