12.6.1 Mostre que a paridade de Y_{L}^{M}(\theta, \varphi) é (-1)^{L}. Observe o desaparecimento de qualquer dependência de M.
Sugestão: Para a operação de paridade em coordenadas polares esféricas, veja o Exercício 2.5.8 e a nota de rodapé 7 na Seção 12.2.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos mostrar que, sob a operação de paridade (inversão de coordenadas \mathbf r\to -\mathbf r), o harmônico esférico Y_{L}^{M}(\theta,\varphi) se comporta como
Y_{L}^{M}(\pi-\theta,\;\varphi+\pi) \;=\;(-1)^{L}\,Y_{L}^{M}(\theta,\varphi).
O conteúdo principal é a definição de paridade em coordenadas esféricas e as propriedades de paridade das funções de Legendre associadas e do fator azimutal e^{iM\varphi}.

Passo 2

Definição da operação de paridade em esféricas:
Quando \mathbf r\to -\mathbf r, as coordenadas (r,\theta,\varphi) mudam para \bigl(r,\pi-\theta,\varphi+\pi\bigr). Portanto, o efeito de paridade sobre o harmônico esférico é
P\bigl[Y_{L}^{M}(\theta,\varphi)\bigr] =Y_{L}^{M}(\pi-\theta,\varphi+\pi).

Passo 3

Usamos a forma usual de Y_{L}^{M}:
Y_{L}^{M}(\theta,\varphi) = N_{LM}\;P_{L}^{M}(\cos\theta)\;e^{\,iM\varphi},
onde N_{LM} é a normalização (que não afeta a paridade).

Passo 4

Aplique a transformação \theta\to\pi-\theta e \varphi\to\varphi+\pi:
Y_{L}^{M}(\pi-\theta,\varphi+\pi) = N_{LM}\;P_{L}^{M}\bigl(\cos(\pi-\theta)\bigr)\;e^{\,iM(\varphi+\pi)}.

Passo 5

Note que \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta. A propriedade de paridade da função de Legendre associada é
P_{L}^{M}(-x)=(-1)^{L+M}\,P_{L}^{M}(x).
Logo
P_{L}^{M}\bigl(\cos(\pi-\theta)\bigr) =P_{L}^{M}(-\cos\theta) =(-1)^{L+M}\,P_{L}^{M}(\cos\theta).

Passo 6

O fator azimutal transforma-se como
e^{\,iM(\varphi+\pi)} =e^{\,iM\varphi}\;e^{\,iM\pi} =e^{\,iM\varphi}\;(-1)^{M}.

Passo 7

Juntando as duas contribuições de sinal:
Y_{L}^{M}(\pi-\theta,\varphi+\pi) = N_{LM}\,\bigl[(-1)^{L+M}P_{L}^{M}(\cos\theta)\bigr]\, \bigl[(-1)^{M}e^{\,iM\varphi}\bigr] = (-1)^{L+2M}\,Y_{L}^{M}(\theta,\varphi).
Mas 2M é par, isto é, (-1)^{2M}=+1. Portanto sobra
Y_{L}^{M}(\pi-\theta,\varphi+\pi) =(-1)^{L}\,Y_{L}^{M}(\theta,\varphi),
mostrando que a paridade depende somente de L.

Resposta

P\bigl[Y_{L}^{M}\bigr]=(-1)^{L}\,Y_{L}^{M}
ou seja, a paridade de Y_{L}^{M} é (-1)^{L}, sem dependência de M.

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