12.6.1 Mostre que a paridade de
é
. Observe o desaparecimento de qualquer dependência de
.
Sugestão: Para a operação de paridade em coordenadas polares esféricas, veja o Exercício 2.5.8 e a nota de rodapé 7 na Seção 12.2.
Sugestão: Para a operação de paridade em coordenadas polares esféricas, veja o Exercício 2.5.8 e a nota de rodapé 7 na Seção 12.2.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos mostrar que, sob a operação de paridade (inversão de coordenadas
), o harmônico esférico
se comporta como
O conteúdo principal é a definição de paridade em coordenadas esféricas e as propriedades de paridade das funções de Legendre associadas e do fator azimutal
.
Passo 2
Definição da operação de paridade em esféricas:
Quando , as coordenadas
mudam para
. Portanto, o efeito de paridade sobre o harmônico esférico é
Quando
Passo 3
Usamos a forma usual de
:
onde
é a normalização (que não afeta a paridade).
Passo 4
Aplique a transformação
e
:
Passo 5
Note que
. A propriedade de paridade da função de Legendre associada é
Logo
Passo 6
O fator azimutal transforma-se como
Passo 7
Juntando as duas contribuições de sinal:
Mas
é par, isto é,
. Portanto sobra
mostrando que a paridade depende somente de
.
Resposta
ou seja, a paridade de
é
, sem dependência de
.