12.6.8 \operatorname{Com} L_{ \pm}dado por
L_{ \pm}=L_{x} \pm i L_{y}= \pm e^{ \pm i \varphi}\left[\frac{\partial}{\partial \theta} \pm i \operatorname{cotg} \theta \frac{\partial}{\partial \varphi}\right]
mostre que
Y_{l}^{m}=\sqrt{\frac{(l+m)!}{(2 l)!(l-m)!}}\left(L_{-}\right)^{l-m} Y_{l}^{l}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, usando os operadores de subida e descida
L_{\pm}=L_{x}\pm iL_{y}
sobre os harmônicos esféricos Y_{l}^{m}, vale
Y_{l}^{m} =\sqrt{\frac{(l+m)!}{(2l)!\,(l-m)!}}\, \bigl(L_{-}\bigr)^{\,l-m}Y_{l}^{l}.
O conteúdo é a álgebra de levantamento e abaixamento de estados próprios de L^{2} e L_{z}. Vamos usar que
L_{z}Y_{l}^{m}=m\,Y_{l}^{m}, \qquad L^{2}Y_{l}^{m}=l(l+1)\,Y_{l}^{m},
e a ação de L_{-} sobre Y_{l}^{m}.

Passo 2

Pela teoria de operadores angulares, L_{-} abaixa o índice m em uma unidade:
L_{-}Y_{l}^{m} =\sqrt{(l+m)(\,l-m+1)}\;Y_{l}^{m-1}.
Aqui adotamos as unidades em que \hbar=1. Esse fator de normalização vem de
[L_{z},L_{-}]=-L_{-}, \quad [L^{2},L_{-}]=0
e da normalização \langle Y_{l}^{m}\mid Y_{l}^{m}\rangle=1.

Passo 3

Para ir de m=l até um m<l, aplicamos L_{-} exatamente n=l-m vezes sobre Y_{l}^{l}:
\bigl(L_{-}\bigr)^{n}Y_{l}^{l} =\Bigl(\prod_{k=0}^{n-1}\sqrt{(l+(l-k))\,(l-(l-k)+1)}\Bigr)\;Y_{l}^{l-n},
onde n=l-m e cada passo abaixa m em 1.

Passo 4

No produto interno temos, para n=l-m,
\prod_{k=0}^{n-1}(l+(l-k))\,(l-(l-k)+1) =\prod_{k=0}^{n-1}(2l-k)(k+1) =\frac{(2l)!}{(2l-n)!}\;n! =\frac{(2l)!}{(l+m)!}\;(l-m)!.
Assim
\bigl(L_{-}\bigr)^{l-m}Y_{l}^{l} =\sqrt{\frac{(2l)!\,(l-m)!}{(l+m)!}}\;Y_{l}^{m}.
Invertendo essa relação, chega-se a
Y_{l}^{m} =\sqrt{\frac{(l+m)!}{(2l)!\,(l-m)!}}\;\bigl(L_{-}\bigr)^{l-m}Y_{l}^{l}.

Resposta

Y_{l}^{m} =\sqrt{\frac{(l+m)!}{(2l)!\,(l-m)!}}\; \bigl(L_{-}\bigr)^{l-m}Y_{l}^{l}.

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