12.6.8
dado por
mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, usando os operadores de subida e descida
sobre os harmônicos esféricos
, vale
O conteúdo é a álgebra de levantamento e abaixamento de estados próprios de
e
. Vamos usar que
e a ação de
sobre
.
Passo 2
Pela teoria de operadores angulares,
abaixa o índice
em uma unidade:
Aqui adotamos as unidades em que
. Esse fator de normalização vem de
e da normalização
.
Passo 3
Para ir de
até um
, aplicamos
exatamente
vezes sobre
:
onde
e cada passo abaixa
em 1.
Passo 4
No produto interno temos, para
,
Assim
Invertendo essa relação, chega-se a