12.6.3 Na teoria da excitação de núcleos de Coulomb encontramos Y_{L}^{M}(\pi / 2,0). Mostre que
\begin{aligned} Y_{L}^{M}\left(\frac{\pi}{2}, 0\right) & =\left(\frac{2 L+1}{4 \pi}\right)^{1 / 2} \frac{[(L-M)!(L+M)!]^{1 / 2}}{(L-M)!!(L+M)!!}(-1)^{(L+M) / 2} \quad \text { para } L+M \text { par }\\\ & =0 \quad \text { para } L+M \text { impar. } \end{aligned}
Aqui
\begin{aligned} (2 n)!! & =2 n(2 n-2) \cdots 6 \cdot 4 \cdot 2\\\ (2 n+1)!! & =(2 n+1)(2 n-1) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1 . \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
Y_{L}^{M}\!\bigl(\tfrac\pi2,0\bigr)
usando a definição de harmônicos esféricos em termos das funções de Legendre associadas P_{L}^{M}. O conteúdo necessário inclui
1. A fórmula
Y_{L}^{M}(\theta,\varphi) =\sqrt{\frac{2L+1}{4\pi}\,\frac{(L-M)!}{(L+M)!}}\; P_{L}^{M}(\cos\theta)\;e^{iM\varphi}\,.
2. O valor de \cos(\pi/2)=0 e e^{iM\cdot0}=1.
3. A paridade de P_{L}^{M}(x) e o valor de P_{L}^{M}(0) em termos de duplos fatoriais.

Passo 2

Usando a definição, em \theta=\pi/2 e \varphi=0 vem
Y_{L}^{M}\bigl(\tfrac\pi2,0\bigr) =\sqrt{\frac{2L+1}{4\pi}\,\frac{(L-M)!}{(L+M)!}}\; P_{L}^{M}\bigl(\cos\tfrac\pi2\bigr)\;e^{iM\cdot0} =\sqrt{\frac{2L+1}{4\pi}\,\frac{(L-M)!}{(L+M)!}}\;P_{L}^{M}(0)\,.

Passo 3

A função de Legendre associada satisfaz a paridade
P_{L}^{M}(-x)=(-1)^{L+M}P_{L}^{M}(x)\,,
logo, ao avaliar em x=0:
P_{L}^{M}(0)=0\quad\text{se \(L+M\) for ímpar.}í

Passo 4

Para L+M par, usa-se a fórmula conhecida
P_{L}^{M}(0) =(-1)^{\frac{L+M}{2}}\, \frac{(L+M-1)!!}{(L-M)!!}\,,
onde, por definição,
\,(2n)!!=2n(2n-2)\cdots2,
\,(2n-1)!!=(2n-1)(2n-3)\cdots1.

Passo 5

Substituindo em Y_{L}^{M}(\pi/2,0):
Y_{L}^{M}\bigl(\tfrac\pi2,0\bigr) =\sqrt{\frac{2L+1}{4\pi}\,\frac{(L-M)!}{(L+M)!}}\; (-1)^{\frac{L+M}{2}} \frac{(L+M-1)!!}{(L-M)!!}\,.
Agora note que
(L+M-1)!! =\frac{(L+M)!}{(L+M)!!} \quad\text{e}\quad (L-M)!! =2^{\frac{L-M}{2}}\bigl(\tfrac{L-M}2\bigr)!\,,
então
\sqrt{\frac{(L-M)!}{(L+M)!}}\,(L+M-1)!! =\frac{\sqrt{(L-M)!\,(L+M)!}}{(L+M)!!}\,.
Logo
Y_{L}^{M}\bigl(\tfrac\pi2,0\bigr) =\sqrt{\frac{2L+1}{4\pi}}\, (-1)^{\frac{L+M}{2}}\, \frac{\sqrt{(L-M)!\,(L+M)!}} {(L-M)!!\,(L+M)!!}\,.

Resposta

Y_{L}^{M}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2},0\bigr) =\begin{cases} \displaystyle \sqrt{\frac{2L+1}{4\pi}}\, \frac{\sqrt{(L-M)!\,(L+M)!}}{(L-M)!!\,(L+M)!!} \,(-1)^{\frac{L+M}{2}} &\text{se \(L+M\) é par,}\\[1em] 0 &\text{se \(L+M\) é ímpar.} \end{cases}ééí]

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