12.6.3 Na teoria da excitação de núcleos de Coulomb encontramos YL^M(pi / 2,0). Mostre que
YL^M(pi2, 0) & =(2 L+14 pi)^1 / 2 [(L-M)!(L+M)!]^1 / 2(L-M)!!(L+M)!!(-1)^(L+M) / 2 para L+M par & =0 para L+M impar
Aqui
(2 n)!! & =2 n(2 n-2) cdots 6 cdot 4 cdot 2 (2 n+1)!! & =(2 n+1)(2 n-1) cdots 5 cdot 3 cdot 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
YL^M!l(tfracpi2,0r)
usando a definição de harmônicos esféricos em termos das funções de Legendre associadas PL^M. O conteúdo necessário inclui
1. A fórmula
YL^M(theta,phi) =raiz2L+14pi,(L-M)!(L+M)!; PL^M(costheta);e^iMphi,
2. O valor de cos(pi/2)=0 e e^iMcdot0=1.
3. A paridade de PL^M(x) e o valor de PL^M(0) em termos de duplos fatoriais.

Passo 2

Usando a definição, em theta=pi/2 e phi=0 vem
YL^Ml(tfracpi2,0r) =raiz2L+14pi,(L-M)!(L+M)!; PL^Ml(costfracpi2r);e^iMcdot0 =raiz2L+14pi,(L-M)!(L+M)!;PL^M(0),

Passo 3

A função de Legendre associada satisfaz a paridade
PL^M(-x)=(-1)^L+MPL^M(x),,
logo, ao avaliar em x=0:
PL^M(0)=0se (L+M) for ímpar í

Passo 4

Para L+M par, usa-se a fórmula conhecida
PL^M(0) =(-1)^L+M2, (L+M-1)!!(L-M)!!,,
onde, por definição,
,(2n)!!=2n(2n-2)cdots2,
,(2n-1)!!=(2n-1)(2n-3)cdots1.

Passo 5

Substituindo em YL^M(pi/2,0):
YL^Ml(tfracpi2,0r) =raiz2L+14pi,(L-M)!(L+M)!; (-1)^L+M2 (L+M-1)!!(L-M)!!,
Agora note que
(L+M-1)!! =(L+M)!(L+M)!! e (L-M)!! =2^L-M2l(tfracL-M2r)!,,
então
raiz(L-M)!(L+M)!,(L+M-1)!! =raiz(L-M)!,(L+M)!(L+M)!!,
Logo
YL^Ml(tfracpi2,0r) =raiz2L+14pi, (-1)^L+M2, raiz(L-M)!,(L+M)! (L-M)!!,(L+M)!!,

Resposta

YL^M!l(tfracpi2,0r) = raiz2L+14pi, raiz(L-M)!,(L+M)!(L-M)!!,(L+M)!! ,(-1)^L+M2 &se (L+M) é par,[1em] 0 &se (L+M) é ímpar ééí]

Exercícios de Livros Relacionados