12.6.10 Uma função
pode ser expressa como uma série de Laplace
Usando
para representar a média (com centro na origem), mostre que
Passo 1
O enunciado nos dá uma função
expandida em série de Laplace sobre harmônicos esféricos. Em particular,
Queremos mostrar que a média sobre a superfície de uma esfera centrada na origem coincide com o valor de
na origem, isto é,
Para isso vamos usar (i) a definição de média sobre a esfera e (ii) a ortonormalidade dos harmônicos esféricos.
Passo 2
Definimos a média de
sobre a superfície da esfera de raio
por
Substituindo a expansão de Laplace em cada ponto da esfera, vem
Passo 3
Usamos a propriedade de que
Portanto, todos os termos com
desaparecem e só sobra o termo
. Como
e
, obtemos
Passo 4
Agora avaliamos
na origem. Como todo termo com
para
se anula em
, resta apenas
Repare que esse valor coincide com o da média que calculamos acima.