12.6.10 Uma função f(r, \theta, \varphi) pode ser expressa como uma série de Laplace
f(r, \theta, \varphi)=\sum_{l, m} a_{l m} r^{l} Y_{l}^{m}(\theta, \varphi)
Usando \left\langle\right\rangle_{\text {esfera }} para representar a média (com centro na origem), mostre que
\langle f(r, \theta, \varphi)\rangle_{\text {esfera }}=f(0,0,0) .

Passo 1

O enunciado nos dá uma função f(r,\theta,\varphi) expandida em série de Laplace sobre harmônicos esféricos. Em particular,
f(r,\theta,\varphi)=\sum_{l,m}a_{l m}\,r^{l}\,Y_{l}^{m}(\theta,\varphi).
Queremos mostrar que a média sobre a superfície de uma esfera centrada na origem coincide com o valor de f na origem, isto é,
\langle f(r,\theta,\varphi)\rangle_{\text{esfera}}=f(0,0,0).
Para isso vamos usar (i) a definição de média sobre a esfera e (ii) a ortonormalidade dos harmônicos esféricos.

Passo 2

Definimos a média de f sobre a superfície da esfera de raio r por
\langle f(r,\theta,\varphi)\rangle_{\text{esfera}} =\frac{1}{4\pi r^{2}}\int_{\text{esfera}}f(r,\theta,\varphi)\,dS =\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}f(r,\theta,\varphi)\,\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Substituindo a expansão de Laplace em cada ponto da esfera, vem
\langle f\rangle_{\text{esfera}} =\frac{1}{4\pi}\sum_{l,m}a_{l m}\,r^{l} \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}Y_{l}^{m}(\theta,\varphi)\,\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.

Passo 3

Usamos a propriedade de que
\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}Y_{l}^{m}(\theta,\varphi)\,\sin\theta\,d\theta\,d\varphi =\begin{cases} 0, & l>0,\\\ \displaystyle\sqrt{4\pi}, & l=0,\;m=0. \end{cases}
Portanto, todos os termos com l>0 desaparecem e só sobra o termo l=0,m=0. Como r^{0}=1 e Y_{0}^{0}=1/\sqrt{4\pi}, obtemos
\langle f\rangle_{\text{esfera}} =\frac{1}{4\pi}\,a_{0\,0}\,\sqrt{4\pi} =a_{0\,0}\,\frac{1}{\sqrt{4\pi}} =a_{0\,0}\,Y_{0}^{0}.

Passo 4

Agora avaliamos f na origem. Como todo termo com r^{l} para l>0 se anula em r=0, resta apenas
f(0,0,0) =\sum_{l,m}a_{l m}\,0^{l}\,Y_{l}^{m} =a_{0\,0}\,Y_{0}^{0}.
Repare que esse valor coincide com o da média que calculamos acima.

Resposta

\langle f(r,\theta,\varphi)\rangle_{\text{esfera}} =f(0,0,0).

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