12.6.4 (a) Expresse os elementos do tensor de momento de quadrupolo x_{i} x_{j} como uma combinação linear dos harmônicos esféricos Y_{2}^{m} (e Y_{0}^{0} ).
Nota: O tensor x_{i} x_{j} é redutível. O Y_{0}^{0} indica a presença de uma componente escalar.
(b) O tensor de momento de quadrupolo costuma ser definido como
Q_{i j}=\int\left(3 x_{i} x_{j}-r^{2} \delta_{i j}\right) \rho(\mathbf{r}) d \tau
sendo \rho(\mathbf{r}) a densidade de carga. Expresse as componentes de \left(3 x_{i} x_{j}-r^{2} \delta_{i j}\right) em termos de r^{2} Y_{2}^{M}.
(c) Qual á a significância do termo -r^{2} \delta_{i j} ?
Sugestão: Compare com as Seções 2.9 e 4.4.

Passo 1

O enunciado pede:
– (a) escrever cada componente x_i x_j como combinação linear dos harmônicos esféricos de ordem 2, Y_{2}^{m}, mais a peça escalar Y_{0}^{0}.
– (b) a seguir escrever as componentes de \bigl(3x_i x_j - r^2\delta_{ij}\bigr) em função de r^2Y_{2}^{M}.
– (c) comentar o papel do termo -r^2\delta_{ij}.
Conteúdo: decomposição de um tensor simétrico de ordem 2 em parte escalar (monopolar) e parte traceless (quadrupolar), usando a base dos harmônicos esféricos.

Passo 2

Vamos usar as fórmulas conhecidas dos harmônicos esféricos em coordenadas cartesianas:
Y_{0}^{0} = \frac{1}{\sqrt{4\pi}},
Y_{2}^{0} = \sqrt{\frac{5}{16\pi}}\;\frac{3z^2 - r^2}{r^2},
Y_{2}^{\pm1} = \mp\sqrt{\frac{15}{8\pi}}\;\frac{x\pm i\,y}{r}\,\frac{z}{r},
Y_{2}^{\pm2} = \sqrt{\frac{15}{32\pi}}\;\frac{(x\pm i\,y)^2}{r^2}.
Com essas expressões podemos inverter e escrever combinações reais como x^2-y^2, xy, etc., em termos de Y_{2}^{m}.

Passo 3

Qualquer tensor simétrico x_i x_j se decompõe em
x_i x_j = \underbrace{\frac{r^2}{3}\,\delta_{ij}}_{\text{parte escalar (monopolo)}} \;+\;\underbrace{\Bigl(x_i x_j-\frac{r^2}{3}\,\delta_{ij}\Bigr)}_{\text{parte traceless (quadrupolo)}}.
A peça \tfrac{r^2}{3}\,\delta_{ij} é proporcional a Y_{0}^{0}. A parte entre parênteses é traceless e será escrita em harmônicos Y_{2}^{m}.

Passo 4

Comparando com as fórmulas de Y_{2}^{m}, obtemos para o item (a):
x^2 = \frac{r^2}{3} -\frac{\sqrt{16\pi/5}}{6}\,r^2\,Y_2^0 +\frac{\sqrt{32\pi/15}}{4}\,r^2\,(Y_2^2+Y_2^{-2}),
y^2 = \frac{r^2}{3} -\frac{\sqrt{16\pi/5}}{6}\,r^2\,Y_2^0 -\frac{\sqrt{32\pi/15}}{4}\,r^2\,(Y_2^2+Y_2^{-2}),
z^2 = \frac{r^2}{3} +\frac{\sqrt{16\pi/5}}{3}\,r^2\,Y_2^0,
xy = -\frac{i\sqrt{32\pi/15}}{4}\,r^2\,(Y_2^2 - Y_2^{-2}),
xz = -\frac{\sqrt{8\pi/15}}{2}\,r^2\,(Y_2^1 - Y_2^{-1}),
yz = \frac{i\sqrt{8\pi/15}}{2}\,r^2\,(Y_2^1 + Y_2^{-1}).
A parte \tfrac{r^2}{3}\,\delta_{ij} equivale a \bigl(r^2Y_0^0\bigr)\,\delta_{ij}.

Passo 5

Para o item (b), define-se
3x_i x_j - r^2\,\delta_{ij},
que anula exatamente a peça escalar e multiplica por 3 a parte traceless. Logo:
3x^2 - r^2 = -\frac{\sqrt{16\pi/5}}{2}\,r^2\,Y_2^0 +\frac{3\sqrt{32\pi/15}}{4}\,r^2\,(Y_2^2+Y_2^{-2}),
3y^2 - r^2 = -\frac{\sqrt{16\pi/5}}{2}\,r^2\,Y_2^0 -\frac{3\sqrt{32\pi/15}}{4}\,r^2\,(Y_2^2+Y_2^{-2}),
3z^2 - r^2 = \sqrt{\frac{16\pi}{5}}\,r^2\,Y_2^0,
3\,xy = -\frac{3\,i\sqrt{32\pi/15}}{4}\,r^2\,(Y_2^2 - Y_2^{-2}),
3\,xz = -\frac{3\sqrt{8\pi/15}}{2}\,r^2\,(Y_2^1 - Y_2^{-1}),
3\,yz = \frac{3\,i\sqrt{8\pi/15}}{2}\,r^2\,(Y_2^1 + Y_2^{-1}).
Todas as componentes de (3x_i x_j - r^2\delta_{ij}) estão agora escritas em função de r^2Y_2^M.

Passo 6

O termo -r^2\,\delta_{ij} tem a função de remover o traço do tensor original x_i x_j. Isso garante que Q_{ij}=\int(3x_i x_j - r^2\delta_{ij})\,\rho(\mathbf{r})\,d\tau seja traceless, i.e.\ puramente quadrupolar, sem nenhuma componente monopolar (escalar).

Resposta

(a)
x_i x_j =\frac{r^2}{3}\,\delta_{ij} + \begin{cases} x^2-\dfrac{r^2}{3} =-\dfrac{\sqrt{16\pi/5}}{6}r^2Y_2^0 +\dfrac{\sqrt{32\pi/15}}{4}r^2\,(Y_2^2+Y_2^{-2}),\\[6pt] y^2-\dfrac{r^2}{3} =-\dfrac{\sqrt{16\pi/5}}{6}r^2Y_2^0 -\dfrac{\sqrt{32\pi/15}}{4}r^2\,(Y_2^2+Y_2^{-2}),\\[6pt] z^2-\dfrac{r^2}{3} =\dfrac{\sqrt{16\pi/5}}{3}r^2Y_2^0,\\[6pt] xy=-\dfrac{i\sqrt{32\pi/15}}{4}r^2\,(Y_2^2 -Y_2^{-2}),\\[4pt] xz=-\dfrac{\sqrt{8\pi/15}}{2}r^2\,(Y_2^1 -Y_2^{-1}),\\[4pt] yz=\dfrac{i\sqrt{8\pi/15}}{2}r^2\,(Y_2^1 +Y_2^{-1}). \end{cases}
(b)
3x^2-r^2=-\frac{\sqrt{16\pi/5}}{2}r^2Y_2^0 +\frac{3\sqrt{32\pi/15}}{4}r^2(Y_2^2+Y_2^{-2}),
3y^2-r^2=-\frac{\sqrt{16\pi/5}}{2}r^2Y_2^0 -\frac{3\sqrt{32\pi/15}}{4}r^2(Y_2^2+Y_2^{-2}),
3z^2-r^2=\sqrt{\frac{16\pi}{5}}\,r^2Y_2^0,
3\,xy=-\frac{3\,i\sqrt{32\pi/15}}{4}\,r^2\,(Y_2^2 -Y_2^{-2}),
3\,xz=-\frac{3\sqrt{8\pi/15}}{2}\,r^2\,(Y_2^1 -Y_2^{-1}),
3\,yz=\frac{3\,i\sqrt{8\pi/15}}{2}\,r^2\,(Y_2^1 +Y_2^{-1}).
(c) O termo -r^2\delta_{ij} remove o traço (a parte escalar) de x_i x_j, tornando Q_{ij} um tensor traceless e isolando apenas a parte quadrupolar (ordem 2).]

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