12.6.4 (a) Expresse os elementos do tensor de momento de quadrupolo como uma combinação linear dos harmônicos esféricos (e ).
Nota: O tensor é redutível. O indica a presença de uma componente escalar.
(b) O tensor de momento de quadrupolo costuma ser definido como
sendo a densidade de carga. Expresse as componentes de em termos de .
(c) Qual á a significância do termo ?
Sugestão: Compare com as Seções 2.9 e 4.4.
Passo 1
O enunciado pede:
– (a) escrever cada componente como combinação linear dos harmônicos esféricos de ordem , , mais a peça escalar .
– (b) a seguir escrever as componentes de em função de .
– (c) comentar o papel do termo .
Conteúdo: decomposição de um tensor simétrico de ordem em parte escalar (monopolar) e parte traceless (quadrupolar), usando a base dos harmônicos esféricos.
Passo 2
Vamos usar as fórmulas conhecidas dos harmônicos esféricos em coordenadas cartesianas:
Com essas expressões podemos inverter e escrever combinações reais como , , etc., em termos de .
Passo 3
Qualquer tensor simétrico se decompõe em
A peça tfracr^23,de<aij é proporcional a Y0^0. A parte entre parênteses é traceless e será escrita em harmônicos Y2^m.
Passo 4
Comparando com as fórmulas de Y2^m, obtemos para o item (a):
Todas as componentes de (3xi xj - r^2de<aij) estão agora escritas em função de r^2Y2^M.
Passo 6
O termo -r^2,de<aij tem a função de remover o traço do tensor original xi xj. Isso garante que Qij=integral(3xi xj - r^2de<aij),rho(r),dtau seja traceless, i.e.\ puramente quadrupolar, sem nenhuma componente monopolar (escalar).