12.6.4 (a) Expresse os elementos do tensor de momento de quadrupolo x_{i} x_{j} como uma combinação linear dos harmônicos esféricos Y_{2}^{m} (e Y_{0}^{0} ).
Nota: O tensor x_{i} x_{j} é redutível. O Y_{0}^{0} indica a presença de uma componente escalar.
(b) O tensor de momento de quadrupolo costuma ser definido como
Q_{i j}=\int\left(3 x_{i} x_{j}-r^{2} \delta_{i j}\right) \rho(\mathbf{r}) d \tau
sendo \rho(\mathbf{r}) a densidade de carga. Expresse as componentes de \left(3 x_{i} x_{j}-r^{2} \delta_{i j}\right) em termos de r^{2} Y_{2}^{M}.
(c) Qual á a significância do termo -r^{2} \delta_{i j} ?
Sugestão: Compare com as Seções 2.9 e 4.4.
Passo 1
O enunciado pede:
– (a) escrever cada componente x_i x_j como combinação linear dos harmônicos esféricos de ordem 2, Y_{2}^{m}, mais a peça escalar Y_{0}^{0}.
– (b) a seguir escrever as componentes de \bigl(3x_i x_j - r^2\delta_{ij}\bigr) em função de r^2Y_{2}^{M}.
– (c) comentar o papel do termo -r^2\delta_{ij}.
Conteúdo: decomposição de um tensor simétrico de ordem 2 em parte escalar (monopolar) e parte traceless (quadrupolar), usando a base dos harmônicos esféricos.
Passo 2
Vamos usar as fórmulas conhecidas dos harmônicos esféricos em coordenadas cartesianas:
Todas as componentes de (3x_i x_j - r^2\delta_{ij}) estão agora escritas em função de r^2Y_2^M.
Passo 6
O termo -r^2\,\delta_{ij} tem a função de remover o traço do tensor original x_i x_j. Isso garante que Q_{ij}=\int(3x_i x_j - r^2\delta_{ij})\,\rho(\mathbf{r})\,d\tau seja traceless, i.e.\ puramente quadrupolar, sem nenhuma componente monopolar (escalar).
(c) O termo -r^2\delta_{ij}remove o traço (a parte escalar) de x_i x_j, tornando Q_{ij} um tensor traceless e isolando apenas a parte quadrupolar (ordem 2).]
Cálculo - George Arfken - Métodos Matemáticos para Engenharia e Física - 7ª Edição - Capítulo 12.6 - Ex. 12.6.4