12.6.4 (a) Expresse os elementos do tensor de momento de quadrupolo xi xj como uma combinação linear dos harmônicos esféricos Y2^m (e Y0^0 ).
Nota: O tensor xi xj é redutível. O Y0^0 indica a presença de uma componente escalar.
(b) O tensor de momento de quadrupolo costuma ser definido como
Qi j=integral(3 xi xj-r^2 de<ai j) rho(r) d tau
sendo rho(r) a densidade de carga. Expresse as componentes de (3 xi xj-r^2 de<ai j) em termos de r^2 Y2^M.
(c) Qual á a significância do termo -r^2 de<ai j ?
Sugestão: Compare com as Seções 2.9 e 4.4.

Passo 1

O enunciado pede:
– (a) escrever cada componente xi xj como combinação linear dos harmônicos esféricos de ordem 2, Y2^m, mais a peça escalar Y0^0.
– (b) a seguir escrever as componentes de l(3xi xj - r^2de<aijr) em função de r^2Y2^M.
– (c) comentar o papel do termo -r^2de<aij.
Conteúdo: decomposição de um tensor simétrico de ordem 2 em parte escalar (monopolar) e parte traceless (quadrupolar), usando a base dos harmônicos esféricos.

Passo 2

Vamos usar as fórmulas conhecidas dos harmônicos esféricos em coordenadas cartesianas:
Y0^0 = 1raiz4pi,
Y2^0 = raiz516pi;3z^2 - r^2r^2,
Y2^pm1 = mpraiz158pi;xpm i,yr,zr,
Y2^pm2 = raiz1532pi;(xpm i,y)^2r^2
Com essas expressões podemos inverter e escrever combinações reais como x^2-y^2, xy, etc., em termos de Y2^m.

Passo 3

Qualquer tensor simétrico xi xj se decompõe em
xi xj = underbracer^23,de<aijparte escalar (monopolo) ;+;underbracel(xi xj-r^23,de<aijr)parte trace<=ss (quadrupolo)
A peça tfracr^23,de<aij é proporcional a Y0^0. A parte entre parênteses é traceless e será escrita em harmônicos Y2^m.

Passo 4

Comparando com as fórmulas de Y2^m, obtemos para o item (a):
x^2 = r^23 -raiz16pi/56,r^2,Y2^0 +raiz32pi/154,r^2,(Y2^2+Y2^-2),
y^2 = r^23 -raiz16pi/56,r^2,Y2^0 -raiz32pi/154,r^2,(Y2^2+Y2^-2),
z^2 = r^23 +raiz16pi/53,r^2,Y2^0,
xy = -iraiz32pi/154,r^2,(Y2^2 - Y2^-2),
xz = -raiz8pi/152,r^2,(Y2^1 - Y2^-1),
yz = iraiz8pi/152,r^2,(Y2^1 + Y2^-1)
A parte tfracr^23,de<aij equivale a l(r^2Y0^0r),de<aij.

Passo 5

Para o item (b), define-se
3xi xj - r^2,de<aij,
que anula exatamente a peça escalar e multiplica por 3 a parte traceless. Logo:
3x^2 - r^2 = -raiz16pi/52,r^2,Y2^0 +3raiz32pi/154,r^2,(Y2^2+Y2^-2),
3y^2 - r^2 = -raiz16pi/52,r^2,Y2^0 -3raiz32pi/154,r^2,(Y2^2+Y2^-2),
3z^2 - r^2 = raiz16pi5,r^2,Y2^0,
3,xy = -3,iraiz32pi/154,r^2,(Y2^2 - Y2^-2),
3,xz = -3raiz8pi/152,r^2,(Y2^1 - Y2^-1),
3,yz = 3,iraiz8pi/152,r^2,(Y2^1 + Y2^-1)
Todas as componentes de (3xi xj - r^2de<aij) estão agora escritas em função de r^2Y2^M.

Passo 6

O termo -r^2,de<aij tem a função de remover o traço do tensor original xi xj. Isso garante que Qij=integral(3xi xj - r^2de<aij),rho(r),dtau seja traceless, i.e.\ puramente quadrupolar, sem nenhuma componente monopolar (escalar).

Resposta

(a)
xi xj =r^23,de<aij + x^2-dfracr^23 =-dfracraiz16pi/56r^2Y2^0 +dfracraiz32pi/154r^2,(Y2^2+Y2^-2),[6pt] y^2-dfracr^23 =-dfracraiz16pi/56r^2Y2^0 -dfracraiz32pi/154r^2,(Y2^2+Y2^-2),[6pt] z^2-dfracr^23 =dfracraiz16pi/53r^2Y2^0,[6pt] xy=-dfraciraiz32pi/154r^2,(Y2^2 -Y2^-2),[4pt] xz=-dfracraiz8pi/152r^2,(Y2^1 -Y2^-1),[4pt] yz=dfraciraiz8pi/152r^2,(Y2^1 +Y2^-1)
(b)
3x^2-r^2=-raiz16pi/52r^2Y2^0 +3raiz32pi/154r^2(Y2^2+Y2^-2),
3y^2-r^2=-raiz16pi/52r^2Y2^0 -3raiz32pi/154r^2(Y2^2+Y2^-2),
3z^2-r^2=raiz16pi5,r^2Y2^0,
3,xy=-3,iraiz32pi/154,r^2,(Y2^2 -Y2^-2),
3,xz=-3raiz8pi/152,r^2,(Y2^1 -Y2^-1),
3,yz=3,iraiz8pi/152,r^2,(Y2^1 +Y2^-1)
(c) O termo -r^2de<aij remove o traço (a parte escalar) de xi xj, tornando Qij um tensor traceless e isolando apenas a parte quadrupolar (ordem 2).]

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