Mostre que \Phi=\theta / \pi=(1 / \pi) \operatorname{arctg}(y / x) é harmônica no semiplano superior e satisfaz a condição de contorno \Phi(x, 0)=1 se x<0 e 0 se x>0, e o potencial complexo correspondente vale F(z)=-(i / \pi) Ln z.

Passo 1

O enunciado define a função
\displaystyle \Phi(x,y)=\frac{\theta}{\pi}=\frac{1}{\pi}\operatorname{arctg}\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)
no semiplano superior \Im z>0 e pede para mostrar que
  1. \Phi é harmônica em \Im z>0;
  2. na reta real, \Phi(x,0)=1 se x<0 e \Phi(x,0)=0 se x>0;
  3. o potencial complexo correspondente é
F(z)=-\frac{i}{\pi}\Ln z\,.

Passo 2

Definimos em \Im z>0 a função
F(z)=-\frac{i}{\pi}\Ln z,
onde escolhemos o ramo principal de \Ln z, isto é,
\Ln z=\ln|z|+i\,\Arg(z),
com \Arg(z)\in(0,\pi). Logo
F(z)=-\frac{i}{\pi}\bigl(\ln|z|+i\,\Arg(z)\bigr) =\frac{\Arg(z)}{\pi}-\frac{i}{\pi}\ln|z|.

Passo 3

Como F é analítica em \Im z>0, a parte real
\Re F(z)=\frac{\Arg(z)}{\pi}
é uma função harmônica no semiplano superior. Mas \Arg(z)=\theta=\operatorname{arctg}(y/x), logo
\Phi(x,y)=\Re F(z)
é harmônica.

Passo 4

Na fronteira y\to0^+ temos
\Arg(x+ i0)=0 se x>0 e \Arg(x+i0)=\pi se x<0. Portanto
\Phi(x,0)=\frac{\Arg(x)}{\pi}= \begin{cases} 0,&x>0,\\\\ 1,&x<0. \end{cases}

Passo 5

Concluímos que
  1. \Phi(x,y)=\frac{1}{\pi}\operatorname{arctg}(y/x) é harmônica em \Im z>0.
  2. \Phi(x,0) satisfaz a condição de contorno pedida.
  3. O potencial complexo cuja parte real é \Phi é
F(z)=-\frac{i}{\pi}\Ln z.

Resposta

\Phi é harmônica no semiplano superior e satisfaz
\Phi(x,0)=1 se x<0, \Phi(x,0)=0 se x>0.
O potencial complexo correspondente é
F(z)=-\frac{i}{\pi}\Ln z.

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