Mostre que
é harmônica no semiplano superior e satisfaz a condição de contorno
se
e 0 se
, e o potencial complexo correspondente vale
Ln
.
Passo 1
O enunciado define a função
no semiplano superior e pede para mostrar que
no semiplano superior
-
é harmônica em ; - na reta real,
se e se ; - o potencial complexo correspondente é
Passo 2
Definimos em
a função
onde escolhemos o ramo principal de
, isto é,
com
. Logo
Passo 3
Como
é analítica em
, a parte real
é uma função harmônica no semiplano superior. Mas
, logo
é harmônica.
Passo 4
Na fronteira
temos
se e
se
. Portanto
se
Passo 5
Concluímos que
-
é harmônica em . -
satisfaz a condição de contorno pedida. - O potencial complexo cuja parte real é
é
Resposta
O potencial complexo correspondente é