Obtenha o potencial entre dois cilindros coaxiais infinitos de raios r_{1} e r_{2} com potenciais U_{1} e U_{2}, respectivamente. Encontre o potencial complexo.
r_{1}=0,5, r_{2}=2,0 U_{1}=-110 \mathrm{~V}, U_{2}=110 \mathrm{~V}

Passo 1

Estamos estudando o problema de eletrostática em coordenadas cilíndricas, onde duas superfícies cilíndricas coaxiais infinitas de raios r_{1} e r_{2} estão mantidas em potenciais U_{1} e U_{2}. Como não há dependência de z nem de \theta, o potencial \varphi satisfaz a equação de Laplace radial e depende apenas de r. Vamos usar a forma geral da solução radial e impor as condições de contorno \varphi(r_{1})=U_{1} e \varphi(r_{2})=U_{2}.

Passo 2

A equação de Laplace em coordenadas cilíndricas, para simetria apenas radial, reduz-se a
\frac{1}{r}\,\frac{d}{dr}\!\Bigl(r\,\frac{d\varphi}{dr}\Bigr)=0.
Integrando duas vezes, obtemos a forma geral
\varphi(r)=A\,\ln r + B,
onde A e B são constantes a determinar pelas condições de contorno.

Passo 3

Impondo as condições \varphi(r_{1})=U_{1} e \varphi(r_{2})=U_{2}, temos o sistema
A\ln r_{1}+B = U_{1},\quad A\ln r_{2}+B = U_{2}.
Subtraindo a primeira da segunda:
A(\ln r_{2}-\ln r_{1}) = U_{2}-U_{1} \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{U_{2}-U_{1}}{\ln\bigl(r_{2}/r_{1}\bigr)}.
Depois, de B = U_{1} - A\ln r_{1}.

Passo 4

Para os valores num’ericos r_{1}=0,5, r_{2}=2,0, U_{1}=-110,V e U_{2}=110,V, temos
\ln\bigl(r_{2}/r_{1}\bigr)=\ln\bigl(2,0/0,5\bigr)=\ln4=2\ln2,
A = \frac{110 - (-110)}{2\ln2} = \frac{220}{2\ln2} = \frac{110}{\ln2},
B = -110 - \frac{110}{\ln2}\,\ln(0,5) = -110 + \frac{110}{\ln2}\,\ln2 = 0.
Logo o potencial entre os cilindros \varphi(r) 'e
\varphi(r) = \frac{110}{\ln2}\,\ln r.
Uma forma equivalente, centrada em r_{1}, 'e
\varphi(r) = -110 \; + \; \frac{220}{\ln4}\,\ln\!\bigl(r/0,5\bigr).

Passo 5

O potencial complexo W(z) (função de z=x+iy) que reproduz \varphi(r)=\Re\{W\} pode ser escrito como
W(z) = A\,\ln z + C,
onde A é o mesmo coeficiente acima e C é constante ajustada para W(r_{1})=U_{1}. Com nossos valores descobrimos que C=0, então
W(z) = \frac{110}{\ln2}\,\ln z.

Resposta

Potencial real entre cilindros:
\varphi(r) = \frac{110}{\ln2}\,\ln r.
Potencial complexo:
W(z) = \frac{110}{\ln2}\,\ln z.

Exercícios de Livros Relacionados