Obtenha o potencial entre dois cilindros coaxiais infinitos de raios
e
com potenciais
e
, respectivamente. Encontre o potencial complexo.
Passo 1
Estamos estudando o problema de eletrostática em coordenadas cilíndricas, onde duas superfícies cilíndricas coaxiais infinitas de raios
e
estão mantidas em potenciais
e
. Como não há dependência de
nem de
, o potencial
satisfaz a equação de Laplace radial e depende apenas de
. Vamos usar a forma geral da solução radial e impor as condições de contorno
e
.
Passo 2
A equação de Laplace em coordenadas cilíndricas, para simetria apenas radial, reduz-se a
Integrando duas vezes, obtemos a forma geral
onde
e
são constantes a determinar pelas condições de contorno.
Passo 3
Impondo as condições
e
, temos o sistema
Subtraindo a primeira da segunda:
Depois, de
.
Passo 4
Para os valores num’ericos
,
,
,V e
,V, temos
Logo o potencial entre os cilindros
'e
Uma forma equivalente, centrada em
, 'e
Passo 5
O potencial complexo
(função de
) que reproduz
pode ser escrito como
onde
é o mesmo coeficiente acima e
é constante ajustada para
. Com nossos valores descobrimos que
, então
Resposta
Potencial real entre cilindros:
Potencial complexo: