3.3.8 Mostre que o traço do produto de uma matriz simétrica por uma matriz anti-simétrica é zero.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se S é uma matriz simétrica ( S^T=S) e A é uma matriz anti-simétrica ( A^T=-A), então
\operatorname{tr}(S\,A)=0.
Os pontos-chave que vamos usar são a definição de simetria e anti-simetria e a propriedade de que o traço de uma matriz é igual ao traço da sua transposta, isto é,
\operatorname{tr}(M)=\operatorname{tr}(M^T).

Passo 2

Começamos aplicando a propriedade da transposição ao produto S\,A:
\operatorname{tr}(S\,A) =\operatorname{tr}\bigl((S\,A)^T\bigr) =\operatorname{tr}\bigl(A^T\,S^T\bigr).

Passo 3

Agora substituímos S^T=S e A^T=-A:
\operatorname{tr}(S\,A) =\operatorname{tr}\bigl((-A)\,S\bigr) =-\operatorname{tr}(A\,S).
Mas também vale a propriedade cíclica do traço, \operatorname{tr}(A\,S)=\operatorname{tr}(S\,A). Logo
\operatorname{tr}(S\,A)=-\operatorname{tr}(S\,A).

Passo 4

Da igualdade \operatorname{tr}(S\,A)=-\operatorname{tr}(S\,A) segue que
\;2\,\operatorname{tr}(S\,A)=0\quad\Longrightarrow\quad\operatorname{tr}(S\,A)=0.

Resposta

\operatorname{tr}(S\,A)=0.

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