3.3.8 Mostre que o traço do produto de uma matriz simétrica por uma matriz anti-simétrica é zero.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se
é uma matriz simétrica (
) e
é uma matriz anti-simétrica (
), então
Os pontos-chave que vamos usar são a definição de simetria e anti-simetria e a propriedade de que o traço de uma matriz é igual ao traço da sua transposta, isto é,
Passo 2
Começamos aplicando a propriedade da transposição ao produto
:
Passo 3
Agora substituímos
e
:
Mas também vale a propriedade cíclica do traço,
. Logo
Passo 4
Da igualdade
segue que