Mostre que os seguintes polinómios não admitem raízes racionais:
h(x)=x^3+x+1

Passo 1

O enunciado dá o polinómio
h(x)=x^3+x+1
e pede para mostrar que ele não admite raízes racionais. O conteúdo é o teste das raízes racionais, que relaciona divisores do termo independente e do coeficiente líder com possíveis raízes racionais.

Passo 2

Pelo teste das raízes racionais, se tfracpq (em forma reduzida) é raiz de h(x), então p deve dividir o termo independente 1 e q deve dividir o coeficiente líder 1. Logo as únicas possibilidades são
pq=pm1

Passo 3

Calculamos
h(1)=1^3+1+1=3neq0,
h(-1)=(-1)^3+(-1)+1=-1neq0
Como nem 1 nem -1 anulam h(x), não existe raiz racional.

Resposta

O polinómio h(x)=x^3+x+1 não admite raízes racionais.

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