Mostre que senh 2 a=2 senh a cdot cosh a.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos a identidade de ângulo duplo para o seno hiperbólico, ou seja, provar que
sinh(2a) = 2,sinh(a),cosh(a)
O conteúdo aqui são as definições de sinh e cosh em termos de exponenciais e a fatoração de uma diferença de quadrados.

Passo 2

Lembrando as definições:
sinh(x) = e^x - e^-x2, cosh(x) = e^x + e^-x2

Passo 3

Começamos calculando sinh(2a) pelas definições:
sinh(2a) = e^2a - e^-2a2 = l(e^ar)^2 - l(e^-ar)^22
Agora reconhecemos uma diferença de quadrados e fatoramos:
l(e^ar)^2 - l(e^-ar)^2 = l(e^a - e^-ar),l(e^a + e^-ar)
Logo
sinh(2a) = l(e^a - e^-ar),l(e^a + e^-ar)2

Passo 4

Reescrevendo cada fator na forma de sinh e cosh:
e^a - e^-a = 2,sinh(a), e^a + e^-a = 2,cosh(a)
Substituindo na expressão de sinh(2a) obtemos
sinh(2a) = l(2,sinh(a)r),l(2,cosh(a)r)2 = 2,sinh(a),cosh(a)

Resposta

sinh(2a) = 2,sinh(a),cosh(a)

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