Mostre que a função y=A cosh (omega t+phi) satisfaz a equação ddoty-omega^2 y=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
y = A coshl(omega t + phir)
satisfaz a equação diferencial
ddoty - omega^2y = 0
O conteúdo é cálculo de derivadas de funções hiperbólicas e verificação em uma EDO linear de segunda ordem.

Passo 2

Calculemos a primeira derivada de y em relação a t. Usando a regra da cadeia e sabendo que
dducosh(u)=sinh(u) e u=omega t+phi, temos
doty = ddtl[A cosh(u)r] = A,sinh(u),dudt = A,sinhl(omega t+phir),omega = A,omega,sinhl(omega t+phir)

Passo 3

Agora a segunda derivada. Como ddusinh(u)=cosh(u), obtemos
ddoty = ddtl[A,omega,sinh(u)r] = A,omega,cosh(u),dudt = A,omega,coshl(omega t+phir),omega = A,omega^2,coshl(omega t+phir)

Passo 4

Substituindo na equação
ddoty - omega^2y = A,omega^2coshl(omega t+phir) - omega^2l[Acoshl(omega t+phir)r] = 0
Portanto, o valor da expressão é identicamente zero.

Resposta

Está verificado que
ddoty - omega^2y = 0,
logo y=Acosh(omega t+phi) satisfaz a equação diferencial dada.

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