Ex. 8.26 - Mostre que lim n infty cos (1n)=1 (Dica: observe que cos (x)=raiz1-sen(x)^2 e use as propriedades do limite).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência an=cosl(tfrac1nr) converge para 1 quando ntoinfty. O conteúdo aqui é limite de sequência envolvendo funções trigonométricas e propriedades de limite (soma, produto e composição). Vamos usar a identidade
cos(x)=raiz1-sin^2(x)
válida em [-tfracpi2,tfracpi2], e o fato de que as funções sin e raiz;cdot; são contínuas em seus domínios.

Passo 2

Primeiro note que
limntoinfty1n = 0

Passo 3

Como sin é função contínua, podemos compor o limite:
limntoinftysinl(tfrac1nr) =sin!l(limntoinftytfrac1nr) =sin(0)=0

Passo 4

Pelo produto de limites,
limntoinftysin^2!l(tfrac1nr) =l(limntoinftysin(tfrac1n)r)^2 =0^2=0

Passo 5

Então
limntoinftyl(1-sin^2(tfrac1n)r) =1 - 0 = 1

Passo 6

A função xmapstoraizx é contínua em [0,infty), logo
limntoinftyraiz,1-sin^2(tfrac1n), =raizlimntoinftyl(1-sin^2(tfrac1n)r) =raiz1=1

Passo 7

Para n grande temos tfrac1nin[0,tfracpi2], onde vale cos(x)=raiz1-sin^2(x). Assim
cos!l(tfrac1nr) =raiz,1-sin^2(tfrac1n),,
cujo limite acabamos de calcular.

Resposta

limntoinftycos!l(tfrac1nr)=1

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