Mostre que a soma das distâncias de um ponto da base de um triângulo isósceles aos lados de medidas iguais é constante.
Passo 1
Vamos chamar de
o triângulo isósceles com
e base
. Seja
um ponto variável sobre a base
. Definimos
e
.
Queremos provar que é independente da escolha de
.
Queremos provar que
Passo 2
Como
está em
, o triângulo
se decompõe nos dois triângulos
e
. Logo
Passo 3
Usamos a fórmula área
base
altura /
em cada peça:
A área de tem base
e altura
, então
A área de
Analogamente, a área de
é
Passo 4
Somando as duas expressões e igualando à área de
dá
Como
, temos
A área de
e o comprimento
são constantes, logo
também é constante.
Resposta
Para todo
em
vale
que independe de
. Portanto a soma das distâncias é constante.