Mostre que a soma das distâncias de um ponto da base de um triângulo isósceles aos lados de medidas iguais é constante.

Passo 1

Vamos chamar de ABC o triângulo isósceles com AB=AC e base BC. Seja P um ponto variável sobre a base BC. Definimos
d1=dist(P,AB) e d2=dist(P,AC).
Queremos provar que d1+d2 é independente da escolha de P.

Passo 2

Como P está em BC, o triângulo ABC se decompõe nos dois triângulos ABP e APC. Logo
área(ABC)=área(ABP)+área(APC) ááá

Passo 3

Usamos a fórmula área = base times altura / 2 em cada peça:
A área de ABP tem base AB e altura d1, então
área(ABP)=ABcdot d12 á
Analogamente, a área de APC é
área(APC)=ACcdot d22 á

Passo 4

Somando as duas expressões e igualando à área de ABC
área(ABC) =AB,d12+AC,d22 =AB,d1+AC,d22 á
Como AB=AC=ell, temos
área(ABC) =ell,(d1+d2)2 á
A área de ABC e o comprimento ell são constantes, logo d1+d2 também é constante.

Resposta

Para todo P em BC vale
d1+d2=2,área(ABC)AB, á
que independe de P. Portanto a soma das distâncias é constante.

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